Avalie a integral.

∫ x 3 + 6 x - 2 x 4 + 6 x 2 d x

Passo 1

Esse é bem simples!! Pra inicio de conversa, nós temos frações com expoente no denominador maior que o do numerador. Vamos verificar se o denominador é redutível. Sendo ele redutível, podemos transforma-lo:

x 3 + 6 x - 2 x 4 + 6 x 2 = x 3 + 6 x - 2 x 2 ( x 2 + 6 )

Pronto!! Podemos resolver.

Passo 2

Agora, vamos aplicar frações parciais nesse termo:

x 3 + 6 x - 2 x 2 ( x 2 + 6 ) = A x + B x 2 + C x + D x 2 + 6

Multiplicando tudo por ( x + 2 ) ( x + 1 ) , temos:

x 3 + 6 x - 2 = A x x 2 + 6 + B x 2 + 6 + ( C x + D ) ( x 2 )

Resolvendo isso temos que:

x 3 + 6 x - 2 = A x 3 + 6 A x + B x 2 + 6 B + C x 3 + D x 2

Agora igualamos os termos e achamos os seus respectivos valores:

A + C = 1

B + D = 0

6 A = 6

6 B = - 2

Resolvendo isso, encontramos A = 1 , B = - 1 3 e substituindo nas outras equações temos, C = 0 e D = 1 3 .

Logo,

x 3 + 6 x - 2 x 2 ( x 2 + 6 ) = 1 x - 1 3 x 2 + 1 3 ( x 2 + 6 )

Agora é só integrar!!

Passo 3

Aplicando a integração:

∫ x 3 + 6 x - 2 x 4 + 6 x 2 d x = ∫ 1 x d x - ∫ 1 3 x 2 d x + ∫ 1 3 ( x 2 + 6 ) d x

= ln ⁡ | x | - 1 3 - 1 x + 1 3 arctan ⁡ x 3 + C

Organizamos tudo direitinho e o nosso resultado será:

∫ x 3 + 6 x - 2 x 4 + 6 x 2 d x = ln ⁡ | x | + 1 3 x + 1 3 6 arctan ⁡ x 6 + C

Prontinho!!

Resposta

∫ x 3 + 6 x - 2 x 4 + 6 x 2 d x = ln ⁡ | x | + 1 3 x + 1 3 6 arctan ⁡ x 6 + C

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