Enunciado

Exercício: 59 - Às vezes, sociólogos usam a expressão "difusão social" para descrever o modo como a informação se espalha por uma população. A informação pode ser um boato, uma novidade cultural ou notícias sobre uma inovação técnica. Em uma população suficientemente grande, o número de pessoas x que têm a informação é tratado como uma função derivável do tempo t, e a taxa de difusão, d x d t , é supostamente proporcional ao número de pessoas que têm a informação multiplicada pelo número de pessoas que não a têm. Isso leva à equação:

d x d t = K x ( N - x )

Onde N é o número de pessoas na população. Suponha que t seja medido em dias, k = 1 /250 e que duas pessoas deram início a um boato no momento t = 0 em uma população de N = 1000 pessoas.

BQuando metade da população terá ouvido o boato? (Esse é o 1nomento em que o boato se espalhará 1nais rapidamente.)

Passo 1

Utilizando a fórmula do exercício anterior:

x = 1000 e 4 t 499 + e 4 t

Se x = 1 2 ,   N = 1000 2 ,   N = 500

Assim:

500 = 1000 e 4 t 499 + e 4 t

Multiplicando cruzado novamente:

500 ⋅ 499 + 500 e 4 t = 1000 e 4 t

249500 + 500 e 4 t = 1000 e 4 t

500 e 4 t = 1000 4 t - 249500

500 e 4 t - 1000 4 t = - 249500

- 500 e 4 t = - 249500

e 4 t = - 249500 - 500

e 4 t = 499

4 t = ln ⁡ 499

t = 1 4 ln ⁡ 499

t ≈ 1,5531 5

Resposta

t ≈ 1,55 dias.

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