Avalie a integral.

∫ x 3 - 2 x 2 + 2 x - 5 x 4 + 4 x 2 + 3 d x

Passo 1

Esse é bem simples!! Pra inicio de conversa, nós temos que verificar se o denominador é redutível. Sendo ele redutível, podemos transforma-lo:

x 3 - 2 x 2 + 2 x - 5 x 4 + 4 x 2 + 3 = x 3 - 2 x 2 + 2 x - 5 ( x 2 + 3 ) ( x 2 + 1 )

Pronto!! Podemos resolver.

Passo 2

Agora, vamos aplicar frações parciais nesse termo:

x 3 - 2 x 2 + 2 x - 5 ( x 2 + 3 ) ( x 2 + 1 ) = A x + B ( x 2 + 3 ) + C x + D ( x 2 + 1 )

Multiplicando tudo por ( x 2 + 3 ) ( x 2 + 1 ) , temos:

x 3 - 2 x 2 + 2 x - 5 = ( A x + B ) x 2 + 1 + ( C x + D ) ( x 2 + 3 )

Resolvendo isso temos que:

x 3 - 2 x 2 + 2 x - 5 = A x 3 + A x + B x 2 + B + C x 3 + 3 C x + D x 2 + 3 D

Agora igualamos os termos e achamos os seus respectivos valores:

A + C = 1

B + D = - 2

A + 3 C = 2

B + 3 D = - 5

Resolvemos então os sistemas, multiplicando por ( - 1 ) uma das equações

- A - C = - 1

A + 3 C = 2

Nessa primeira temos que A = 1 2 e C = 1 2 . Resolvendo o segundo sistema:

- B - D = 2

B + 3 D = - 5

Os valores são B = - 1 2 e D = - 3 2 .

Substituimos:

x 3 - 2 x 2 + 2 x - 5 ( x 2 + 3 ) ( x 2 + 1 ) = 1 2 x - 1 2 ( x 2 + 3 ) + 1 2 x - 3 2 ( x 2 + 1 )

Tiramos o MMC das equações:

= x - 1 2 ( x 2 + 3 ) + x - 3 2 ( x 2 + 1 )

= x - 1 2 ( x 2 + 3 ) + x - 3 2 ( x 2 + 1 )

Agora é só integrar!!

Passo 3

Aplicando a integração:

∫ x 3 - 2 x 2 + 2 x - 5 x 4 + 4 x 2 + 3 d x = ∫ x - 1 2 ( x 2 + 3 ) d x + ∫ x - 3 2 ( x 2 + 1 ) d x

Separamos as frações em duas, para cada integral:

= 1 2 ∫ x x 2 + 3 - 1 x 2 + 3 d x + 1 2 ∫ x x 2 + 1 - 3 x 2 + 1 d x

= 1 2 ∫ x x 2 + 3 d x - ∫ 1 x 2 + 3 d x + 1 2 ∫ x x 2 + 1 d x - ∫ 3 x 2 + 1 d x

Usamos substituição para a primeira integral u = x 2 + 3 e d u = 2 x d x . Para a terceira, usamos u = x 2 + 1 e d u = 2 x d x fazemos:

= 1 2 1 2 ∫ 1 u d u - ∫ 1 x 2 + 3 d x + 1 2 1 2 ∫ 1 u d u - 3 ∫ 1 x 2 + 1 d x

Integramos e substituímos o valor de u :

= 1 4 ln ⁡ | u | - 1 2 ( 1 3 arctan ⁡ x 3 ) + 1 4 ln ⁡ u - 3 2 arctan ⁡ ( x )

= 1 4 ln ⁡ | x 2 + 3 | - 1 2 ( 1 3 arctan ⁡ x 3 ) + 1 4 ln ⁡ x 2 + 1 - 3 2 arctan ⁡ ( x )

Fatoramos os termos com raiz no denominador. Lembrando que:

1 3 × 3 3 = 3 3

Organizamos tudo direitinho e o nosso resultado será:

= 1 4 ln ⁡ | x 2 + 3 | - 1 2 ( 3 3 arctan ⁡ 3 x 3 ) + 1 4 ln ⁡ x 2 + 1 - 3 2 arctan ⁡ x + C

= 1 4 ln ⁡ | x 2 + 3 | - 1 6 3 arctan ⁡ 3 x 3 + 1 4 ln ⁡ x 2 + 1 - 3 2 arctan ⁡ x + C

Prontinho!!

Resposta

1 4 ln ⁡ | x 2 + 3 | - 1 6 3 arctan ⁡ 3 x 3 + 1 4 ln ⁡ x 2 + 1 - 3 2 arctan ⁡ x + C

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