Enunciado

Expresse o integrante como soma de frações parciais e calcule a integral.

∫ 1 2 1 y + 4 y 2 + y d y  

Passo 1

Para solucionar uma integral por expansão de frações parciais, temos que separar os denominadores como funções de primeiro grau e em seguida descobrir quais numeradores satisfazem essas novas frações.

Feito isso, dividimos em integrais distintas e solucionamos usando as propriedades de logaritmo natural l n , obtendo nossa solução.

Por último substituiremos os limites de integração.

Passo 2

Colocando y em evidência no denominador, teremos:

y + 4 y y + 1

Dividindo em frações diferentes, teremos:

A y + B y + 1

Passo 3

Agora, solucionaremos os valores para os novos numeradores, através da igualdade:

A y + B y + 1 = y + 4 y 2 + y

Fazendo o mínimo múltiplo comum para igualar os denominadores e solucionar os valores de A e B, teremos:

A y + 1 + B y = y + 4

Expandindo e reagrupando os termos da equação, vamos ter:

A y + B y + A = y + 4

Separando os termos da equação acima entre o que tem incógnita e o que não tem, teremos o sistema:

A y + B y = y A = 4

Solucionando o sistema acima teremos:

4 y + B y = y

4 + B = 1

B = - 3

A = 4 ,     B = - 3

Passo 4

Rescrevendo a integral inicial, teremos:

∫ 1 2 1 4 y - 3 y + 1   d y

Dividindo em duas integrais e tirando as constantes, teremos:

4 ∫ 1 2 1 1 y d y - 3 ∫ 1 2 1 1 y + 1 d y

Solucionando as integrais usando l n , teremos:

4 ln ⁡ y 1 2 1 - 3 ln ⁡ y + 1 1 2 1

Passo 5

Substituindo os limites de integração, teremos:

4 ln ⁡ 1 - 4 ln ⁡ 1 2 - 3 ln ⁡ 2 - 3 ln ⁡ 3 2

0 - 4 - 0,6931472 - 3 0,69314718 - 3 ( 0,40546511 )

2,7725888 - 2,07944154 - 1,21639533

- 0,5232481

Resposta

- 0,5232481

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