Avalie a integral.

∫ x 2 cos ⁡ m x d x

Passo 1

Esse problema tem duas partes! É preciso calma e paciência pra resolvê-lo. Vamos lá!

Para solucionarmos uma integral por partes, temos a seguinte fórmula:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

O problema já nos dá o valor de u e d v , basta calcularmos a derivada e a integral, respectivamente:

u = x 2                               ;                 d u = 2 x   d x

d v = cos ⁡ m x d x                 ;                       v = 1 m sin ⁡ m x

Assim, podemos substituir!!

Passo 2

Calculando a integral, temos

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ x 2 cos ⁡ m x d x = 1 m x 2 sin ⁡ m x - ∫ 1 m sin ⁡ m x × 2 x d x

Organizando...

∫ x 2 cos ⁡ m x d x     = 1 m x 2 sin ⁡ m x - 2 m ∫ x   sin ⁡ m x d x

Nessa segunda integral, precisamos de outra integração por partes, então fazemos:

u = x                               ;                 d u =   d x

d v = sin ⁡ m x d x                 ;                       v = - 1 m cos ⁡ m x

Aplicamos na nossa integral:

∫ x   sin ⁡ m x d x = - 1 m x   cos ⁡ m x - ∫ - 1 m cos ⁡ m x d x

∫ x   sin ⁡ m x d x = - 1 m x   cos ⁡ m x + 1 m ∫ cos ⁡ m x d x

Sabendo que ∫ cos ⁡ m x d x = 1 m sin ⁡ m x , então

∫ x   sin ⁡ m x d x = - 1 m x   cos ⁡ m x + 1 m × 1 m sin ⁡ m x + C

∫ x   sin ⁡ m x d x = - 1 m x   cos ⁡ m x + 1 m 2 sin ⁡ m x + C

Substituindo na primeira integral que estávamos resolvendo:

∫ x 2 cos ⁡ m x d x     = 1 m x 2 sin ⁡ m x - 2 m - 1 m x   cos ⁡ m x + 1 m 2 sin ⁡ m x + C

Logo,

∫ x 2 cos ⁡ m x d x     = 1 m x 2 sin ⁡ m x + 2 m 2 x   cos ⁡ m x + 2 m 3 sin ⁡ m x + C

Prontinho!!

Resposta

∫ x 2 cos ⁡ m x d x     = 1 m x 2 sin ⁡ m x + 2 m 2 x   cos ⁡ m x + 2 m 3 sin ⁡ m x + C

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