Enunciado

Avalie a integral de superfície ∬ F . d S para o campo vetorial F e a superfície S . Em outras palavras, localize o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação (para o exterior) positiva.

F x , y , z = x i + 2 y j + 3 z k

S é um cubo com vértices ( ± 1 , ± 1 , ± 1 ) .

Passo 1

Nós temos aqui seis faces de um cubo, certo? De acordo com a convenção, se a orientação não for dada, a gente assume que os vetores normais estão apontando na direção positiva. É bom notar que a área de cada face é 4 unidades quadradas.

Para a face do cubo que está no plano x = 1 :

d S = n d S = i   d S

onde n é o vetor normal a face, que está apontando para fora do cubo. Assim,

∬ F . d S = ∬ x i + 2 y j + 3 z k i d S

∬ F . d S = ∬ x d S

Notemos que x = 1 em todos os pontos das superfícies.

∬ F . d S = ∬ d S = á r e a   d a   f a c e = 4

Passo 2

Para a face do cubo que está no plano x = - 1 :

d S = n d S = - i   d S

onde n é o vetor normal a face, que está apontando para fora do cubo. Assim,

∬ F . d S = ∬ x i + 2 y j + 3 z k - i d S

∬ F . d S = ∬ x d S

Notemos que x = - 1 em todos os pontos das superfícies.

∬ F . d S = ∬ d S = á r e a   d a   f a c e = 4

Passo 3

Para a face do cubo que está no plano y = 1 :

d S = n d S = j   d S

onde n é o vetor normal a face, que está apontando para fora do cubo. Assim,

∬ F . d S = ∬ x i + 2 y j + 3 z k j d S

∬ F . d S = ∬ 2 y d S

Notemos que y = 1 em todos os pontos das superfícies.

∬ F . d S = 2 ∬ d S = 2 ( á r e a   d a   f a c e ) = 8

Passo 4

Para a face do cubo que está no plano y = - 1 :

d S = n d S = - j   d S

onde n é o vetor normal a face, que está apontando para fora do cubo. Assim,

∬ F . d S = ∬ x i + 2 y j + 3 z k - j d S

∬ F . d S = ∬ - 2 y d S

Notemos que y = - 1 em todos os pontos das superfícies.

∬ F . d S = 2 ∬ d S = 2 ( á r e a   d a   f a c e ) = 8

Passo 5

Para a face do cubo que está no plano z = 1 :

d S = n d S = k   d S

onde n é o vetor normal a face, que está apontando para fora do cubo. Assim,

∬ F . d S = ∬ x i + 2 y j + 3 z k k d S

∬ F . d S = ∬ 3 z d S

Notemos que z = 1 em todos os pontos das superfícies.

∬ F . d S = 3 ∬ d S = 3 ( á r e a   d a   f a c e ) = 12

Passo 6

Para a face do cubo que está no plano z = - 1 :

d S = n d S = - k   d S

onde n é o vetor normal a face, que está apontando para fora do cubo. Assim,

∬ F . d S = ∬ x i + 2 y j + 3 z k - k d S

∬ F . d S = ∬ - 3 z d S

Notemos que z = - 1 em todos os pontos das superfícies.

∬ F . d S = 3 ∬ d S = 3 ( á r e a   d a   f a c e ) = 12

O fluxo é igual a:

F l u x o = 4 + 4 + 8 + 8 + 12 + 12 = 48

Resposta

O fluxo é igual a:

F l u x o = 48

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S F.d S para o campo vetorial F e a superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação
Seja T a superfície do tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano x + y + z = 4 . Calcular I =∫ ∫ S y z d y d z + x z d z d x + x y d x d y = OndeS é a face da frente de TS é a face de T qu
Calcular I =∫ ∫ S x d y d z + y d z d x + z d x d y Onde S é a superfície exterior do cilindro x 2 + z 2 = a 2 Limitado pelos planos y =- 4 y = 4
Calcular ∫ ∫ S f → *n →d S Sendo f → = yi → - xj → e S a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 no 1 octante com a normal apontando para fora
Calcular I =∫ ∫ S x 2 d y d z + y 2 d z d x + z 2 d x d y Onde S é a superfície exterior da semi-esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ,z ≥ 0