Enunciado

Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S F   .   d S   para o campo vetorial F e a superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação (para fora) positiva.

28-

F x , y , z = y i + x j + z 2 k

S é o helicoide do Exercício 18 , com orientação para cima.

Passo 1

A equação parametrizada de S no exercício 18 é igual a:

r u , v = u cos ⁡ v i + u   s e n   v   j + v   k ,     0 ≤ u ≤ 1 ,   0 ≤ v ≤ π

Dessa forma temos :

r u = cos ⁡ v i + s e n   v   j + 0 k

r v = - u   s e n   v i + u cos ⁡ v j + 1 k

r u × r v = i j k cos ⁡ v s e n   v 0 - u   s e n   v u cos ⁡ v 1

r u × r v = s e n   v i + - cos ⁡ v j + u c o s 2 v + u s e n 2 v k = s e n   v i - cos ⁡ v i + u k

Não há a necessidade de fazer o módulo pois não vamos fazer a área.

E para completar:

F u , v = u s e n   v i + u cos ⁡ v j + v 2 k

Passo 2

Agora só montar a integral:

∫ 0 1 ∫ 0 π ( u s e n   v i + u cos ⁡ v j + v 2 k ) . s e n   v i - cos ⁡ v i + u k d v   d u

∫ 0 1 ∫ 0 π u s e n 2 v - u c o s 2 v + u v 2   d v   d u

O que é a mesma que:

∫ 0 1 ∫ 0 π u 1 - cos ⁡ 2 v 2 - u 1 + cos ⁡ 2 v 2 + u v 2   d v   d u

∫ 0 1 ∫ 0 π - cos ⁡ 2 v + u v 2   d v   d u

Fazendo a integral:

u 0 1 - 1 2 s e n   2 v 0 π + u 2 2 0 1 v 3 3 0 π

0 + 1 2 π 3 3 = π 3 6  

Resposta

π 3 6

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