Find the function f such that f'(x) = x \* f(x) - x and f(0) = 2

Passo 1

A sacada dessa questão é perceber que estamos com uma equação diferencial de variável separável. Podemos reescrever nossos dados como

f ' x =   x   f x -   x

d y d x = x y - x

f   0   =   2

y 0 = 2

Ficou mais fácil agora ver o que devemos fazer? Tudo que for y vai para um lado, tudo que for x vai para o outro.

d y d x = x y - x

d y d x = x y - 1

1 y - 1   d y = x   d x

Dica importante. Tente arrumar as equações de forma que fique mais fácil ver as primitivas. Se facilite o máximo possível. Pode usar a imaginação e manipular as equações conforme for do seu gosto ; )

Passo 2

Agora vamos integral dos dois lados

∫ 1 y - 1   d y   = ∫ x   d x

ln ⁡ y - 1 = x 2 2

y - 1 = e x 2 2

Estamos fazendo integrais indefinidas, então temos que adicionar uma constante qualquer C.

y - 1 = e x 2 2 + C

y = e x 2 2 + C + 1

Mas como nossa constante é completamente arbitraria. Somar ou diminuir qualquer valor, não faz a menor diferença

y = e x 2 2 + C

Passo 3

Vamos descobrir agora descobrir o valor de C, já que temos dados de contorno

y 0 = 2

y = e x 2 2 + C

2 = e 0 + C

C = 1

Então podemos escrever nossa função como

y = e x 2 2 + 1

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

y = e x 2 2 + 1

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