Enunciado

Avalie as somas superiores e inferiores para f x = 2 + s e n x ,   0 ≤ x ≤ π ,   com n = 2 ,   4 e 8 . Ilustre com diagramas como na figura 14.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente avaliar as somas superiores e inferiores para f x = 2 + sin ⁡ x , no intervalo [ 0 ,   π ] , com n = 2 ,   n = 4 e n = 8 . E ilustrar tudo isso com os diagramas.

Pra isso, nós precisamos lembrar que:

A área da região S que está sob o gráfico de uma função contínua f é o limite da soma das áreas dos retângulos aproximantes:

A = lim n → ∞ ⁡   R n =     l i m n → ∞   f x 1 Δ x + f x 2 Δ x + ⋯ + f x n Δ x    

Então, A = l i m n → ∞     ∑ i = 0 n   f x i Δ x , onde Δ x = b - a n .

Sendo assim, vamos substituir os dados da função na fórmula do somatório e estimar a área sob o gráfico.

Vamos lá!

Passo 2

Perceba que da nossa fórmula a = 0 e b = π . Dessa forma, temos:

Δ x = π - 0 n

Vamos fazer o primeiro caso, ou seja, quando n = 2 . Daí,

Δ x = π - 0 2 = π 2

Perceba que o máximo valor de f em ambos os subintervalos ocorre em x = π 2 .

Então a soma superior é:

S = f π 2 ⋅ π 2 + f π 2 ⋅ π 2

Substituindo os valores através de f ,   temos:

S = f π 2 ⋅ π 2 + f π 2 ⋅ π 2 = 3 π 2 + 3 π 2

S = 3   π

S ≈ 9,42

Perceba também que o valor mínimo de f nos subintervalos ocorre em x = 0 e x =     π , então, a soma inferior será dada por:

I = f 0 ⋅ π 2 + f π ⋅ π 2

Substituindo os valores através de f , temos:

I = f 0 ⋅ π 2 + f π ⋅ π 2 = 2 π ≈ 6,28

Desenhando o diagrama para n = 2 (dois retângulos), temos:

Passo 3

Faremos agora para n = 4   . Então, Δ x = π - 0 4

Δ x = π 4

Dessa forma, a soma superior é:

S = f π 4 + f π 2 + f π 2 + f 3 π 4 ⋅ π 4

Substituindo os valores através de f , temos:

S = 2 + 1 2 2 + 2 + 1   + 2 + 1 + 2 + 1 2 2 ⋅ π 4

Fazendo essa soma:

S =   10 + 2

S ≈ 7,39

Agora para a soma inferior, vamos ter:

S = f 0 + f π 4 + f 3 π 4 + f π +   ⋅ π 4

Substituindo os valores através de f , temos:

S = 2 + 0 + 2 + 1 2 2   + 2 + 1 2 2   +   2 + 0  

E calculando:

I = 8 + 2

I ≈ 7,39  

Desenhando o diagrama para n = 4 , teremos:

Passo 4

Faremos, agora para n = 8 .   Daí,

Δ x = π - 0 8

Δ x = π 8

Dessa forma, temos que a soma superior é:

S =   f π 8 + f π 4 + f 3 π 8 + f π 2 + f 5 π 8 + f 3 π 4 + f 7 π 8 ⋅ π 8

Substituindo os valores através de f , temos:  

S =   2 + 1 2 2 + 2 + 1   + 2 + 1 + 2 + 1 2 2 ⋅ π 4

S ≈ 8,65  

E nossa soma inferior será dada por:

I = f 0 + f π 8 + f π 4 + f 3 π 8 + f 7 π 8 + f π ⋅ π 8

I ≈ 7,86  

Fazendo o diagrama para n = 8 , temos:

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

Sendo S   = Soma superior e I = soma inferior, temos que

- para n = 2 , S ≈ 9,42 e I ≈ 6,28

- para n = 4 ,   S ≈ 7,39 e I ≈ 7,39

-para n = 8 ,   S ≈ 8,65 e I   ≈ 7,86

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