Enunciado

Use a forma da definição de integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.

∫ 0 2     2 x - x 3  

Passo 1

Vamos relembrar qual a definição?

Bora lá:

∫ a b f ( x )   d x = lim x → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i Δ x

Com x i = a + i   Δ x e Δ x = b - a n    

Bora lá!

Passo 2

Da definição, temos que a = 0 e b = 2 .   Daí, Δ x = 2 - 0 n = 2 n     e x i = 0 + i   Δ x =   2 i n .

Substituindo, temos que

∫ 0 2 2 x - x 3   d x = lim n → ∞ ⁡   ∑ i = 1 n     2 ⋅ 2 i n - 2 i n 3 ⋅ 2 n

Abrindo a potência de 3,

lim n → ∞ ⁡   ∑ i = 1 n     2 ⋅ 2 i n - 2 i n 3 ⋅ 2 n =     lim n → ∞ ⁡   ∑ i = 1 n   4 i n - 8 i 3 n 3   ⋅ 2 n

Multiplicando os termos,

    lim n → ∞ ⁡   ∑ i = 1 n   4 i n - 8 i 3 n 3   ⋅ 2 n   =   lim n → ∞ ⁡   ∑ i = 1 n [ 8 i n 2 - 16 i 3 n 4   ]

Como o somatório não depende de n , podemos por os termos acompanhados de n para fora,

lim n → ∞ ⁡   ∑ i = 1 n [ 8 i n 2 - 16 i 3 n 4   ] =     lim n → ∞ ⁡   [ 8 n 2 ∑ i = 1 n i - 16 n 4   ∑ i = 1 n i 3       ]    

Usando que ∑ i = 1 n i = n 1 + n 2   e ∑ i = 1 n i 3   =   n n + 1 2 4

lim n → ∞ ⁡ [   8 n 2 ∑ i = 1 n i - 16 n 4   ∑ i = 1 n i 3       ]   =   l i m n → ∞   [     8 n 2 ( n ) 1 + n 2 -   16 n 4 n n + 1 2 4   ]    

Simplificando as contas,

l i m n → ∞       4 1 + n n -   4 1 + n 2 n 2   = 4   l i m n → ∞ n + n 2 - 1 + n 2 n 2

Abrindo as contas,

4   l i m n → ∞ n + n 2 - 1 + n 2 n 2 = 4   l i m n → ∞ n + n 2 - 1 + 2 n + n 2 n 2 = 4   l i m n → ∞ - 1 - n n 2

Como

l i m n → ∞ - 1 - n n 2 = ∞ ∞

Usando Lhospital,

l i m n → ∞ - 1 - n n 2 =   l i m n → ∞ - 1 2 n = 0    

Logo,

4   l i m n → ∞ - 1 - n n 2 =   0  

Resposta

∫ 0 2     2 x - x 3 d x =   0  

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Encontre o valor de: a )∑ k = 1 n f x k *Δ x k b ) max ⁡ Δ x k f x = 4 - x 2 ; a = - 3 ; b = 4 ; n = 4 Δ x 1 = 1 ; Δ x 2 = 2 ; Δ x 3 = 1 ; Δ x 4 = 3 x 1 * = - 5 2 ,x 2 * = - 1 ; x 3 * = 1 4 ; x 4 * =
Encontre o valor de: a )∑ k = 1 n f x k *Δ x k b ) max ⁡ Δ x k f x = cos ⁡ x ; a = 0 ; b = 2 π ; n = 4 Δ x 1 = π 2 ; Δ x 2 = 3 π 4 ; Δ x 3 = π 4 ; Δ x 4 = π 4 x 1 * = π 4 ,x 2 * = π ; x 3 * = 3 π 2 ;
Encontre o valor de: a )∑ k = 1 n f x k *Δ x k b ) max ⁡ Δ x k f x = x 3 ; a = - 3 ; b = 3 ; n = 4 Δ x 1 = 2 ; Δ x 2 = 1 ; Δ x 3 = 1 ; Δ x 4 = 2 x 1 * = - 2 ,x 2 * = 0 ; x 3 * = 0 ; x 4 * = 2
Preencha as lacunas: 1 + 3 + 5 + … + 2 n - 1 = ∑ k = 1 n _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Use a parte (a) para provar que a soma dos n primeiros inteiros ímpares consecutivos é um quadrado perfeito.