Enunciado

Um balão esférico é esvaziado de tal forma que seu raio decresce a uma taxa constante de 15   c m / m i n . Com que taxa o ar estará sendo removido quando o raio for de 9   c m ?

Passo 1

Já que balão é esférico, para relacionar o raio com o volume, podemos simplesmente escrever a fórmula do volume da esfera:

V = 4 3   π R 3

Agora partiu derivar, pra saber como as taxas de variação desses caras se relacionam:

d V d t = d d t 4 3   π R 3 = 4 3 π d R 3 d t

Pela Regra da Cadeia:

d V d t       =     4 3 π R 3 '         d R d t

d V d t       = 4 3 π 3 R 2       d R d t

d V d t       = 4 π R 2   d R d t

Maneirooo, chegamos numa expressão que relaciona d V d t e d R d t

Passo 2

Como ele falou que o raio DECRESCE a uma taxa de   15   c m / m i n , então d R d t = - 15   c m / m i n . Lembrando de atentar pro sinal negativo por estar decrescendo.

E além disso vamos usar que R = 9 c m

Agora substituindo esses dados na expressão que encontramos fica assim:

d V d t       = 4 π R 2   d R d t

d V d t   = 4 π     9 2   - 15  

d V d t =   - 4860 π     c m 3 / m i n

A questão quer a taxa em ar estará sendo removido, que é justamente o quanto o volume está diminuindo. Então achamos nossa resposta.

PS: se liga que achamos um d V d t < 0 ,   o que faz muito sentido porque o balão está sendo esvaziado, ou seja, volume está diminuído.

Resposta

- 4860 π     c m 3 / m i n

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