Enunciado

Uma pedra jogada em um lago produz uma onda circular, cujo raio cresce a uma taxa constante de 1   m / s . Com que rapidez estará variando a área englobada pela onda crescente ao final de 10   segundos?

Passo 1

Já que a onda é circular, para relacionar o raio com a área, podemos simplesmente escrever a fórmula da área do círculo:

A = π R 2

Agora partiu derivar, pra saber como as taxas de variação se relacionam:

d A d t = d d t π R 2 = π d R 2 d t

Pela Regra da Cadeia:

d A d t = π ( R 2 ) ' d R d t

d A d t = 2 π R d R d t

Passo 2

Como ele falou que o raio cresce a uma taxa de 1   m / s , então d R d t = 1 .

Mas ainda sim precisamos descobrir quando o raio vale ao final de 10   s e g u n d o s , pra isso a gente pode considerar que logo que a pedra foi jogada o raio era zero, e como cresceu 1   m / s , após 10   s e g u n d o s , R = 10 m

Agora substituindo esses dados na expressão que encontramos fica assim:

d A d t = 2 π R d R d t

d A d t = 2 π 10 1 = 20 π   m 2 / s

Resposta

20 π   m 2 s

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