Enunciado

Um balde com 20 kg contém 60 kg de areia e é pendurado no extremo de uma corrente com 100 m e com 10 kg que está dependurada à beira de um poço profundo. Se a areia está vazando a uma taxa constante e se no momento em que o balde chega à beira do poço toda a areia vazou dele, ache o trabalho realizado ao levantar o balde até a beira do poço.

Passo 1

Sabemos que o trabalho d W realizado para levantar um objeto de uma altura d z é dado por d W = m g   d z , sendo m a massa do objeto e g o valor da aceleração da gravidade. Colocando o eixo z com origem na beira do poço e apontando para baixo, o balde inicialmente está em z = 100 . Devemos então obter W = ∫ 0 100 m g   d z .

Passo 2

A massa total a ser levantada é a massa do balde, mais a areia mais a corrente. A massa do balde é fixa e igual a 20 kg.

A massa da corrente dependerá do quanto já levantamos. Se o balde estiver na altura z , o restante da corrente que ainda não foi levantado terá um comprimento z m, e sua massa então será 10   k g 100   m ⋅ z   m = z 10 k g .

A quantidade de areia incial é 60 kg e após o deslocamento de 100 m a quantidade é zerada, então podemos calcular a taxa à qual a areia cai, que é 60   k g 100   m = 0,6 k g m . Quando o balde estiver na altura z , o balde terá se deslocado 100 - z m, e então a massa da areia perdida será 100 - z   m ⋅ 0,6 k g m = 60 - 0,6 z kg. A massa de areia é então 60 - 60 - 0,6 z = 0,6 z .

Temos então a massa a ser levantada quando estamos na altura z :

m z = 20 + z 10 + 0,6 z = 20 + 0,7 z

Passo 3

Agora podemos integrar para obter W :

W = ∫ 0 100 m z g d z = ∫ 0 100 20 + 0,7 z g d z = g 20 z + 0,35 z 2 0 100

= g 20 ⋅ 100 + 0,35 ⋅ 100 2 - g 20 ⋅ 0 + 0,35 ⋅ 0 2 = g ( 2000 + 4500 )

= 5500 g   J

Se g = 9,81 m/s², então W = 53955 J

Resposta

53955 J

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