Enunciado

Uma tina cheia de água tem 2m de comprimento e sua seção transversal tem a forma de um semicírculo com diâmetro de 0,6m no topo. Qual é o trabalho necessário para bombear água da tina pela borda?

Passo 1

Se você assim como eu não sabe o que é uma tina, agora eu sei, põe no google, se você perguntar a sua mãe é capaz dela te zoar, experiência própria! Vamos começar!

Como ideia inicial, devemos escolher o eixo positivo com direção para baixo por ser um movimento vertical.

A origem será o topo da tina e a repartição será considerada nas dimensões da tina 0,2 .

Essa é uma questão que usaremos a Soma de Riemann, então chamaremos de w i um ponto qualquer nesse intervalo x i - 1 , x i .

Apenas um comentário sobre o que escrevemos acima, não liga muito para a formalidade, pense nesse intervalo como dois pontos de alturas distintas. Melhorou né!

Passo 2

Agora vem a parte de imaginar, pode parecer a pior parte, mas eu te garanto que depois de um tempo você terá facilidade com isso!

Pensaremos num elemento muito fino de mesma forma da superfície da tina, que é um semicírculo, esse elemento terá espessura   ∆ i x e o raio desse elemento será de quanto??

Ora, vamos pensar! Se esse elemento tem a mesma forma da superfície e a superfície é um semicírculo de diâmetro igual a 0,6 m , esse elementozinho terá raio igual a d i â m e t r o 2 que é 0,3 m .

Belezaa! Agora com o raio calculado e a espessura, podemos achar o volume desse elementozinho, lembrando que a área de um semicírculo é π r 2 2 :

V o l u m e   d o   e l e m e n t o z i n h o   =   π r 2 2   ∆ i x = 0,09 π 2   ∆ i x

Passo 3

Vamos agora pensar no Peso da água para 1 m 3 , lembrando que 1000   k g m 3 e gravidade igual a 9,81   m s 2 , temos que multiplicar a gravidade pela densidade e temos:

P = 9810 N

Voltamos a pensar no elementinho, qual será a força sobre ele?

Ora, será o peso de 1 m 3 multiplicado pelo seu volume:

9810 0,09 π 2   ∆ i x

Imaginando dois pontos muito próximos um do outro, o que vai acontecer com a distância percorrida pelo elementinho?

Será igual a w 1 , pois w 1 é a posição de um ponto no eixo que adotamos, assim o trabalho desse elementinho será:

9810 0,09 π 2 w i   ∆ i x

Pensando em todos os elementinhos teremos:

W = lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n 9810 0,09 π 2 w i   ∆ i x = ∫ 0 2 9810 0,09 π 2 x d x

Para finalizar! Já estava na hora né, calcularemos essa integral:

W = ∫ 0 2 9810 0,09 π 2 x d x = 9810 0,09 π 2 x 2 2 2 0 = 882,9 π

Resposta

W = 882,9 π

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