Enunciado

Um tanque com a forma de um hemisfério está colocado de forma que a borda seja uma região circular de raio 6 m e tem água com uma profundidade de 4 m. Ache o trabalho realizado ao se bombear a água para a borda do tanque.

Passo 1

O recipiente desse exercício tem formato de uma semiesfera com a borda circular para cima e queremos bombear a água para fora na altura da borda.

Vamos dar um referencial, o eixo y vertical com origem no topo da semiesfera e com sentido positivo para baixo, já que nosso nível de água desce e assim resulta numa maior altura para a água ser levantada.

Passo 2

Vamos descobrir o trabalho contra a gravidade realizado para mover uma camada fina de água de espessura ∆ y . Pensamos na coluna como uma pilha de n camadas bem finas.

Nosso volume da camada terá uma espessura ∆ y e sua base será dada pela região circular de raio r ( y ) que varia conforme a altura y . Vamos encontrar essa função, observe que há uma relação de triângulo, com o R sempre fixo:

Sabemos que R = 6   m e por Pitágoras podemos fazer essa relação:

R 2 = r ( y ) 2 + y 2

r ( y ) = 6 2 - y 2

E então a base de cada camada será dada pela fórmula da área do círculo:

A = π   r 2

A = π 6 2 - y 2 2

A = π ( 6 2 - y 2 )

Passo 3

Vamos para encontrar o trabalho da camada:

V o l u m e   d a   c a m a d a = b a s e ⋅   a l t u r a =   A ⋅ ∆ y

M a s s a   d a   C a m a d a = d e n s i d a d e ⋅   v o l u m e = d ⋅ A ⋅ ∆ y

F o r ç a   n a   c a m a d a = f ( y ) = g ⋅ m a s s a = g ⋅ d ⋅ A ⋅ ∆ y

O trabalho requerido para levantar cada camada é igual a força vezes a distância a ser percorrida y , distância até a borda. Assim nossa equação fica:

W = f y ⋅ y

W =   g ⋅ d ⋅ A ⋅ ∆ y ⋅ y

W =   g ⋅ d ⋅ π ( 6 2 - y 2 ) ⋅ ∆ y ⋅ y

Como queremos esvaziar todo o tanque, nosso y irá variar de [2, 6], já que nossa origem é na borda e inicialmente está a 2 m abaixo do nível.

Passo 4

Agora vem a menina dos olhos desse exercício, queremos bombear todas as camadas desse tanque e para isso usamos a integral no trabalho:

W = ∫ 2 6 g ⋅ d ⋅ π ( 36 - y 2 ) ⋅ d y ⋅ y

Simbolicamente o ∆ y se transforma no d y da integral. Sabendo que a g = 9,81 m/s² e a densidade da água d = 1000 kg/m³, podemos substituir os valores e extrair as constantes da integral:

W = 9,81 ⋅ 1000 ⋅ π ∫ 2 6 ( 36 - y 2 ) y   d y

W = 9810 π   ∫ 2 6 ( 36 y - y 3 )   d y

Passo 5

Agora podemos resolver a integral encontrando as primitivas da função:

W = 9810 π   36 ⋅ 1 2 y 2 - 1 4 y 4 2 6

W = 9810 π 18 y 2 - 1 4 y 4 2 6

E por fim fazer a subtração com os limites da integral:

W = 9810 π 1 8 ⋅ 6 2 - 1 4 ⋅ 6 4 - 1 8 ⋅ 2 2 - 1 4 ⋅ 2 4

W = 2452 , 5 π [ 324 - 68 ]

W = 627840 π   J

Resposta

W = 62784 0 π   J

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