Enunciado

Uma bola é atirada verticalmente para cima, com uma velocidade inicial de 40 m/s, de um ponto a 20 m do solo. (a) Se v m/s for a velocidade da bola quando estiver a s m do ponto inicial, expresse v em termos de s. (b) Qual a velocidade da bola quando ela estiver a 36 m do solo e ainda subindo? (Sugestão: veja a sugestão dada para os exercícios de 29 a 32.)

Passo 1

Antes vamos separar as informações que enunciado nos dá:

Vamos considerar o sentido positivo para cima

v 0 = 40   m / s

s 0 = 20   m

Também sabemos que existe a aceleração da gravidade g = - 9,81   m / s

Passo 2

(a) Nessa letra o exercício nos pede uma função de v(s), ou seja, a velocidade em termos da distância percorrida:

Sabemos que a aceleração é dada por a = d v d t

Vamos trabalhar a diferenciação da equação:

a   d t = d v

∫ a   d t = ∫ d v

v = a   t + C 1

Substituindo v e t pelos seus valores iniciais, temos que C 1 é a v 0 :

v = a   t + v 0

Passo 3

Precisamos diferenciar mais uma vez para encontrar o espaço.

v = d s d t

v   d t = d s

∫ v   d t = ∫ d s

∫ a t + v 0 d t = ∫ d s

s = a 2 t 2 + v 0 t + C 2

E nesse caso C 2 é o espaço inicial s 0 , que é 20 m.

s - s 0 = a 2 t 2 + v 0 t

Passo 4

Agora vamos substituir a primeira equação dentro da segunda, pois queremos v em função de s e não de t:

∆ s = a 2 ( v - v 0 a ) 2 + v 0 ( v - v 0 a )

∆ s = ( v 2 - v 0 2 ) 2 a

v 2 = v 0 2 + 2 a ⋅ ∆ s

v = ±   v 0 2 + 2 a ⋅ ∆ s

Substituindo pelos valores da aceleração e de v 0

v = ±   40 ² - 19,6 ⋅ ∆ s

v = ±   1600 - 19,6 ⋅ ∆ s

Passo 5

(b) Nessa letra queremos a velocidade da bola a 36m de altura DO SOLO, entretanto nossa bola parte da altura de 20m, então ela percorrerá apenas 16m:

Podemos substituir direto na equação:

v = ±   1600 - 19,6 ⋅ 16

Se ela ainda está subindo usaremos a raiz positiva:

v = 35,9   m / s

Resposta

  1. v = ±   1600 - 19,6 ⋅ ∆ s
  2. | v | = 35,9   m / s
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