Enunciado

  1. Identifique os valores de equilíbrio. Quais são estáveis e quais são instáveis?
  2. Construa a reta de fase. Identifique os sinais de y' e y".
  3. Esboce várias curvas integrais.

d y d x = y 2 - 2 y

Passo 1

  1. Pra começar, y 2 - 2 y = y ( y - 2 )
  2. Os valores de equilíbrio são onde a derivada é zero, ou seja, y = 0 e y = 2

    Veja que a derivada vai ser negativa em ( 0,2 ) e positiva antes de y = 0 e depois de y = 2 .

    Então no intervalo de ( 0,2 ) a função vai decrescer e se aproximar cada vez mais de 0.

    Com isso, temos que y = 0 é um valor estável e y = 2 são valores instáveis da função.

    Passo 2

  3. Vamos calcular a derivada segunda:
  4. y ' ' = d d x y ' = d d x ( y 2 - 2 y )

    y ' ' = ( 2 y - 2 ) y '

    y ' ' = y ( 2 y - 2 ) ( y - 2 )

    Então, y ' ' muda de sinal em y = 0 , y = 1   e y = 2

    Então, montamos a reta de fases:

    Passo 3

  5. Para esboçar as curvas integrais, precisamos descobrir a integral.

Como a derivada d y d x = y 2 - 2 x , vamos ter:

d y y 2 - 2 y = d x

1 2 ln ⁡ y - 2 y = x + C

Usando a exponencial dos dois lados...

y - 2 y = e 2 x + C

Vamos isolar o y agora:

y e 2 x + C - 1 = - 2

y = - 2 e 2 x + C - 1

Aí a gente pode fazer:

y =   - 2 e 2 x ∙ e 2 C - 1

Como C é constante, podemos colocar que e 2 C = K , e aí ficamos com:

y =   - 2 K e 2 x - 1

Sendo a família de integrais. Para esboçarmos as curvas integrais, é só marcarmos as retas de fase e alternamos o valor de K na integral.

Usando alguns valores, como K = { ± 1 ,   ± 2 . ± 3 } , temos as curvas integrais:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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