Enunciado

Uma bola é lançada para o ar para leste a partir da origem (na direção do eixo x positivo). A velocidade inicial é 50   i + 80   k , com a velocidade medida em pés por segundo. A rotação da bola resulta em uma aceleração ao sul de 4   p é s / s 2 , de modo que o vetor aceleração é a = - 4 j - 32 k . Onde a bola cai e com que velocidade escalar?

Passo 1

Precisamos obter uma função vetorial que descreva a posição da nossa bola. Para isto, será necessário relembrar das equações da cinemática.

Observem inicialmente que a aceleração da bola é constante. Por causa disto, temos um movimento retilíneo uniformemente variável. A função posição de uma partícula qualquer é descrita a partir da seguinte equação:

s = s 0 + v 0 t + a t 2 2

Em que s 0 é a posição inicial, v 0 a velocidade inicial e a a aceleração dela. Como temos uma bola se movimentando no R 3 , temos três componentes da posição. Por isto, temos a seguinte função vetorial para descrever o movimento da nossa partícula.

r t = ⟨ 50 t , - 2 t 2 , 80 - 16 t 2 ⟩

Passo 2

Para descobrirmos aonde a bola cai, precisamos descobrir inicialmente em que tempo t a partícula terá coordena z , na direção do vetor k , nula. Portanto, basta resolver a seguinte equação:

80 - 16 t 2 = 0

t = ± 5

Como o tempo só pode ser positivo, temos t = 5 . Para descobrirmos a sua posição, basta substituir o seu valor na função posição. Logo,

r 5 = ⟨ 50 5 , - 10 , 0 ⟩

Passo 3

Para determinarmos a velocidade da bola, precisamos determinar primeiro qual a sua velocidade. Para isto, basta derivarmos a função posição. Desta forma, temos:

v t = r ' t

v t = ⟨ 50 , - 4 t , - 32 t ⟩

Substituindo o valor t = 5 , temos:

v 5 = ⟨ 50 , - 4 5 , - 32 5 ⟩

Agora, basta tirar o módulo deste vetor. Logo,

v 5 = 50 2 + - 4 5 2 + - 32 5 2

v 5 = 87,75   p é s / s

Resposta

r 5 = ⟨ 50 5 , - 10,0 ⟩

v 5 = 87,75   p é s / s

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