Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.4 - Ex. 31
Uma bola é lançada para o ar para leste a partir da origem (na direção do eixo positivo). A velocidade inicial é , com a velocidade medida em pés por segundo. A rotação da bola resulta em uma aceleração ao sul de , de modo que o vetor aceleração é . Onde a bola cai e com que velocidade escalar?
Passo 1
Precisamos obter uma função vetorial que descreva a posição da nossa bola. Para isto, será necessário relembrar das equações da cinemática.
Observem inicialmente que a aceleração da bola é constante. Por causa disto, temos um movimento retilíneo uniformemente variável. A função posição de uma partícula qualquer é descrita a partir da seguinte equação:
Em que é a posição inicial, a velocidade inicial e a aceleração dela. Como temos uma bola se movimentando no , temos três componentes da posição. Por isto, temos a seguinte função vetorial para descrever o movimento da nossa partícula.
Passo 2
Para descobrirmos aonde a bola cai, precisamos descobrir inicialmente em que tempo a partícula terá coordena , na direção do vetor , nula. Portanto, basta resolver a seguinte equação:
Como o tempo só pode ser positivo, temos . Para descobrirmos a sua posição, basta substituir o seu valor na função posição. Logo,
Passo 3
Para determinarmos a velocidade da bola, precisamos determinar primeiro qual a sua velocidade. Para isto, basta derivarmos a função posição. Desta forma, temos:
Substituindo o valor , temos:
Agora, basta tirar o módulo deste vetor. Logo,