Enunciado

Um objeto de massa m se move ao longo da parábola y = x 2 com um módulo de velocidade constante de 10 unidades/s. Qual é a força sobre o objeto decorrente de sua aceleração em ( 0,0 ) ? E em ( 2 1 2 , 2 ) ? Escreva suas respostas em termos de i e j. (Lembre-se da lei de Newton, F = m a .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Nós temos que a aceleração pode ser escrita da seguinte forma

a = a T T + a N N

Desenvolvendo a fórmula

a = d v d t T + κ v 2 N

Como a velocidade é constante e igual a 10, logo

a = 0 + 100   κ N

Agora, vamos calcular o κ

Passo 2

Como y = x 2 e v = 10 , r = x i + x 2 j ,     v = x ' i + 2 x ∙ x ' j e v = x ' 1 + 4 x 2 → x ' = 10 1 + 4 x 2   1 , nós temos que

T = v v

Expandindo a fórmula

T = i + 2 x j 1 + 4 x 2

Derivando

T ' = 2 j 1 + 4 x 2 - 8 x i + 16 x 2 j 2 1 + 4 x 3 2 ∙ x ' = - 2 x i + j 1 + 4 x 2 3 2 ∙ 2 x '

E com isso, o módulo será igual a

T ' = 2 x ' ∙ - 2 x i + j 1 + 4 x 2 3 2 = 2 x ' 1 + 4 x 2

Com isso, N tem o seguinte resultado

N = T ' T ' = - 2 x i + j 1 + 4 x 2

Passo 3

Logo, κ será igual a

κ = 1 v ∙ T ' = 2 1 + 4 x 2 3 2

Voltando para a

a = 100 2 1 + 4 x 2 3 2 = - 2 x i + j 1 + 4 x 2 ∙

Simplificando as coisas,

a = 100 - 4 x i + 2 j 1 + 4 x 2 2

Por Newton, F = m a , então vamos usar este fato para calcular a força

F = m a = 100 m - 4 x i + 2 j 1 + 4 x 2 2

Quando F ( 0,0 ) temos que

F 0,0 = 200 m j

E para F 2 , 2 = 100 m ∙ - 4 2 i + 2 j 81

Resposta

F 0,0 = 200   m j

F 2 , 2 = 100 m ∙ - 4 2 i + 2 j 81

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam vec f (t) = vec a t + vec b t^2 e vec g (t) = t vec i + sin t vec j + cos t vec k , com vec a = vec i + vec j e vec b = 2 vec i - vec j ; 0 = t = 2 pi . Calcular:vec f (t) + vec g ( t )
Esboçar a trajetória de uma partícula P , sabendo que seu movimento é descrito por:(h)r → t = 8 - 4 sen ⁡ t i → + 2 cos ⁡ t j → + 4 sen ⁡ t k →
A posição de uma partícula no plano x y , no tempo t , é dada por x t = e t ,y t = t e t .Escrever a função vetorial f → ( t ) que descreve o movimento dessa partícula.Onde se encontrará a partícula e
Esboçar a trajetória de uma partícula P , sabendo que seu movimento é descrito por:(g)l → t = t i → + sen ⁡ t j → + 2 k →
Sejam vec f (t) = vec a t + vec b t^2 e vec g (t) = t vec i + s e n t vec j + cos t vec k , com vec a = vec i + vec j e vec b = 2 vec i - vec j ; 0 = t = 2 pi . Calcular:(c) vec f (t) xx vec g ( t )