Enunciado

Um barqueiro quer atravessar um canal que fica a 3 km de largura e quer atracar em um ponto 2 km acima do seu ponto de partida. A corrente flui no canal a 3,5 km/h e a velocidade do seu barco é 13 km/h

  1. Em que direção ele deve fugir?
  2. Quanto tempo a viagem vai demorar?

Passo 1

Vetorialmente, temos o seguinte problema:

O barco quer fazer uma trajetória tal que ele percorra 3 km na direção do eixo y e -2 km na direção do eixo x .

O barco está sujeito a correnteza do rio na direção do eixo x , e também está sujeito a sua própria velocidade, a qual possui componentes tanto na direção do eixo x quando na direção do eixo y .

Para resolvermos ambos os itens, torna-se necessário obter a equação da posição do barco. Somente a partir disto, vamos conseguir obter a direção de fuga e o tempo de travessia.

Passo 2

Vamos começar obtendo a equação vetorial da velocidade. Desta forma, temos:

v t = ⟨ v r i o - v b a r c o sen ⁡ θ , v b a r c o cos ⁡ θ ⟩

v t = ⟨ 3,5 - 13 sen ⁡ θ , 13 cos ⁡ θ ⟩

Integrando a função e aplicando a condição de contorno que, em t = 0 , o barco partiu da origem, temos a seguinte função posição:

r t = ⟨ 3,5 - 13 sen ⁡ θ t , 13 cos ⁡ θ t ⟩

Portanto, queremos descobrir os valores de t e θ tais que:

3,5 - 13 sen ⁡ θ t = - 2 13 cos ⁡ θ t = 3

Logo,

3,5 - 13 sen ⁡ θ 13 cos ⁡ θ = - 2 3

Resolvendo esta equação, obtemos que θ = 46,6 °

Já para descobrirmos o tempo, basta substituir o valor de θ em qualquer uma das equações. Desta forma, temos:

t = 3 13 cos ⁡ 46,6 = 0,336   h

t = 20,16   m i n

Resposta

  1. θ = 46,6 ° , ângulo formado entre a direção do barco e a largura do rio.
  2. t = 20,16   m i n .
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Na figura, a ponta de c e a cauda de d são ambas o ponto médio de QR. Expresse c e d em termos de a e b.
O que é o ângulo entre o vetor dado e o sentido positivo do eixo x ? 8 i + 6 j
Encontre o ângulo agudo entre as retas. 2 x - y = 3 ,3 x + y = 7
Encontre os ângulos agudos entre as curvas nos seus pontos de interseção. (O ângulo entre as duas curvas é o ângulo entre as suas retas tangentes no ponto de intersecção.) y = sin ⁡ x , y = cos ⁡ x ,
Encontre o ângulo agudo entre as retas. x + 2 y = 7 ,5 x - y = 2