Enunciado

Um bote é puxado para uma doca por meio de uma corda ligada a uma polia na doca (ver figura abaixo). A corda está ligada à proa do bote em um ponto 10   p é s abaixo da polia. Se a corda for puxada através da polia a uma taxa de 20   p é s / m i n , com que taxa o bote estará se aproximando da doca quando restarem 125   p é s de corda?

Passo 1

Vamos começar chamando de x a distância do bote até a doca num instante qualquer, e de L o comprimento restante de corda.

Pelo Teorema de Pitágoras, podemos falar que:

10 2 + x 2 = L 2

Como queremos saber a que taxa com que o bote estará se aproximando da doca, estamos preocupados em achar basicamente o d x / d t   né?

Então partiu derivar essa expressão em relação ao tempo pro d x / d t aparecer:

d d t 10 2 + x 2 = d d t ( L 2 )

d 100 d t + d x 2 d t = d L 2 d t

Usando a regra da cadeia e também o fato de derivada de constante ser zero, temos que:

  2 x   d x d t = 2 L d L d t                     e q u a ç ã o   ( 1 )

Passo 2

O enunciado nos diz que a corda foi puxada através da polia a uma taxa de 20   p é s / m i n . Ou seja, L está DIMINUINDO a essa taxa, portanto:

d L d t = -   20   p é s / m i n

Além disso, naquele instante restam 125   p é s de corda, então L = 125   p é s

Se quisermos usar a equação (1) vamos precisar quanto vale x naquele instante. pra saber isso é só a gente usar nosso queridíssimo Pitágoras:

10 2 + x 2 = L 2                                   ⇒ L = 125                                       10 2 + x 2 = 125 2

x 2 = 15.525         ⇒                     x = 15 69   p é s

Passo 3

Substituindo todos esses dados na equação (1):

2 x   d x d t = 2 L d L d t

2 ( 15 69 )   d x d t = 2 ( 125 ) ( -   20   p é s )

d x d t = - 500 69 207   p é s / m i n

Achamos um d x d t < 0 , o que faz bastante sentido já que o barco está se aproximando da doca, ou seja, o x está diminuindo 😊

Resposta

- 500 69 207   p é s / m i n

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