Enunciado

Esvaziamento de um reservatório cônico Agua escoa de um reservatório de concreto cônico (vértice para baixo), com raio da base de 45 m e altura de 6 m, a uma taxa de 50 m3/min.

a. Qual a velocidade ( cm/min) da diminuição do nível da água quando a profundidade for de 5 m?

b. Qual a velocidade da variação do raio na superfície da água nesse momento? Use cm/min como unidade

Passo 1

Dados do reservatório cônico:

r = 45 m

h = 6 m

d V d t = 50 m 3 m i n

Conversão:

1 m = 100 c m

Passo 2

A altura da água no exato momento da questão é de 4 metros e como o reservatório é cônico a relação raio/altura é diretamente proporcional. Logo o raio ocupado é de:

r h = 45 6

Como queremos a variação do raio:

h = 6 r 45

Volume ocupado pela água é de:

V = 1 3 π r 2 h

Passo 3

Substituindo r temos:

V = 1 3 6 45   π r 3

Derivando a equação no tempo temos:

d V d t = 0.044   π 3 r 2 d r d t

Como a profundidade a água é de 5 m precisamos encontrar o raio, logo:

r h = x 5 = 45 6 → r = 37.5   m

- 50 m 3 m i n = 0.132   π × 37.5 2 m 2 × d r d t

Uma vez que a vazão é de saída.

Explicitando d r d t

d r d t = - 0.0849   m / min ⁡    

Resposta

Convertendo o valor:

d r d t = - 8.49   c m / m i n

Um outro jeito de se fazer seria fazendo:

r = 45 6 h

Como temos da letra a a variação de altura no tempo, bastaria derivar a equação de cima e multiplicar

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