Enunciado

Aquecimento de um prato: Quando um prato circular de metal é aquecido em um forno, seu raio aumenta a uma taxa de 0,01   c m / m i n . A que taxa a área do prato aumenta quando seu raio for de 50   c m ?

Passo 1

Primeira ação a se tomar é anotar todas as variáveis da questão, e como se trata de uma questão que envolve variáveis físicas deve se dar atenção especial a suas dimensões e grandezas.

Pelo enunciado temos que a variação do raio pelo tempo é dado por:

d r d t = 0,01 c m m i n

Só que o problema pede a variação de área pelo tempo, ou seja, ele quer saber

d A d t =   ?

A área é função do raio, então vamos usar essa informação para resolver o problema!

Passo 2

Como pede-se a variação da área do círculo precisamos encontrar como ela se comporta com a variação do seu raio, então temos a área do círculo escrita como:

A = π r 2

E para encontrarmos a taxa de variação de sua área em relação ao tempo fazemos uso da derivação escrita abaixo:

d d t A = d d t ( π r 2 )

Como π é constante ela sai da derivada. Para derivar r fazemos uso da regra da cadeia (deriva-se a função de fora e depois deriva-se a função de dentro) ficando da seguinte forma:

d d t A = 2 π r d r d t

Passo 3

Agora é somente substituir os valores que o enunciado nos forneceu na equação encontrada:

d d t A = 2 π × 50 c m × 0.01   c m m i n

d d t A = π   m 2 m i n

Fique atento as unidades!

Resposta

O que nos dá:

d d t A = π   m 2 m i n

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