Enunciado

(d y)/(d x) = - (3 x^2 y + y^2)/(2 x^3 + 3 x y)

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma uma equação diferencial de primeira ordem, que não é separável. Então, vamos verificar primeiro se a nossa EDO é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M d x + N d y = 0 é exata, calculamos as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x , e verificamos se elas são iguais. Assim,

(del M)/(del y) = (del N)/(del x)

No nosso caso, M = (3 x^2 y + y^2) e N = (2 x^3 + 3 x y) . Vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos reescrever nossa equação como

(3 x^2 y + y^2) d x + (2 x^3 + 3 x y) d y = 0

Assim aplicando a relação do passo 1, vamos calcular (del M)/(del y) :

(del M)/(del y) = (del)/(del y) (3 x^2 y + y^2) = 3 x^2 + 2 y

Agora, calculando (del N)/(del x) , temos:

(del N)/(del x) = (del)/(del x) (2 x^3 + 3 x y) = 6 x^2 + 3 y

Como (del M)/(del y) != (del N)/(del x) , a equação não é exata. Então, vamos precisar resolvê-la pelo método do fator integrante.

Passo 3

Para achar o nosso fator integrante, vamos calcular:

((del M)/(del y) - (del N)/(del x))/(M) = (- (3 x^2 + y))/(y (3 x^2 + y)) = - (1)/(y)

Assim temos que nosso fator integrante é dado por

mu (y) = exp int (1)/(y) d y = exp ln y = y

Multiplicando esse fator pela nossa EDO, temos:

(3 x^2 y^2 + y^3) d x + (2 x^3 y + 3 x y^2) d y = 0

Agora a nossa equação se tornou exata, porque (del M)/(del y) = (del N)/(del x) . Parece mágica, mas não é rs. Então, vamos resolver.

Passo 4

Agora queremos resolver nosso problema achando uma solução. A solução de uma equação exata é dada implicitamente por varphi (x , y) . Mas, como encontramos essa função?

O primeiro passo é integrar M ( x , y ) em relação a x :

varphi = int (3 x^2 y^2 + y^3) d x = x^3 y^2 + x y^3 + g ( y )

g ( y ) é uma função apenas de y , que aparece por nós estamos integrando uma função de duas variáveis em relação apenas a x . Nosso próximo passo é encontrar g ( y ) . Para isso, vamos derivar o resultado obtido em relação a y :

Tome que se existe uma função varphi ( x , y ) que da origem a nossa equação diferencial, temos que

(del varphi)/(del y) = (del)/(del y) (x^3 y^2 + x y^3 + g (y))

(del varphi)/(del y) = 2 x^3 y + 3 x y^2 + g^' (y)

Igualando esse resultado com N (x , y) = (del varphi)/(del y) , temos:

2 x^3 y + 3 x y^2 + g^' (y) = 2 x^3 y + 3 x y^2

Logo,

g^' (y) = 0

E portanto, g (y) = C , porque a integral de zero é uma constante.

Agora, podemos finalmente escrever nossa solução varphi (x , y) :

varphi (x , y) = x^3 y^2 + x y^3 = C

E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

x^3 y^2 + x y^3 = C

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