dy/dx + (2y^2 + 6xy - 4) / (3x^2 + 4xy + 3y^2) = 0

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y ' = 0 é exata, tomamos

∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y

E verificamos se seu valor é nulo

Passo 2

Primeiro vamos manipular a nossa equação e verificar se ela é exata. Nossa equação pode ser escrita como

2 y 2 + 6 x y - 4 d x + 3 x 2 + 4 x y + 3 y 2 d y = 0

Assim aplicando a relação do passo 1, temos

∂ ∂ x 3 x 2 + 4 x y + 3 y 2 - ∂ ∂ y 2 y 2 + 6 x y - 4 = 6 x + 4 y - 4 y + 6 x = 0

O que mostra que nossa equação é exata.

Neste ponto podemos partir para resolver nossa equação diferencial e achar nossa solução.

Passo 3

Agora queremos resolver nosso problema achando uma solução.

Tome que se existe uma função ϕ ( x , y ) que da origem a nossa equação diferencial, temosque

∂ ϕ ∂ x = 2 y 2 + 6 x y - 4

E

∂ ϕ ∂ y = 3 x 2 + 4 x y + 3 y 2

Assim temos que

ϕ = ∫ 2 y 2 + 6 x y - 4 d x = 2 x y 2 + 3 x 2 y - 4 x + C ( y )

Onde se derivarmos nosso ϕ deveríamos encontrar 3 x 2 + 4 x y + 3 y 2   como sugere nossa equação diferencial.

∂ ϕ ∂ y = ∂ ∂ y 2 x y 2 + 3 x 2 y - 4 x + C ( y ) = 4 x y + 3 x 2 + C ' y = 3 x 2 + 4 x y + 3 y 2

Desta forma temos que C ' y = 3 y 2 → C y = y 3 + C e nossa solução é

ϕ x , y = 2 x y 2 + 3 x 2 y - 4 x + y 3 + C = 0

Resposta

e x + e - y = c

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