Enunciado

9 - (d x)/(d t) = ([[3,-,4],[1,-,1]]) x

Passo 1

Considere o sistema:

(d x)/(d t) = ([[3,-,4],[1,-,1]]) x ... ... . ( 1 )

a)

Vamos assumir x = xi e^(r t) como a solução do sistema. Portanto iremos substituir esse valor no sistema.

(d)/(d t) (xi e^(r t)) = ([[3,-,4],[1,-,1]]) (xi e^(r t))

r xi e^(r t) = ([[3,-,4],[1,-,1]]) (xi e^(r t))

= ([[3,-,r,-,4],[1,-,1,-,r]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]]) ... ... ( 2 )

Passo 2

Os valores são as raízes da equação.

|[[3,-,r,-,4],[1,-,1,-,r]]| = 0

(3 - r) (- 1 - r) + 4 = 0

- 3 - 3 r + r + r^2 + 4 = 0

r^2 - 2 r + 1 = 0

(r - 1)^2 = 0

r_1 = r_2 = 1

Portanto, os autovalores são r_1 = 1 e r_2 = 1 .

Passo 3

Quando r = r_1 = 1 , a equação ( 2 ) fornece,

= ([[3,-,1,-,4],[1,-,1,-,1]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]])

= ([[2,-,4],[1,-,2]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]])

Simplificando a primeira linha, temos:

= ([[1,-,2],[1,-,2]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]])

= ([[xi_1,-,2,xi_2],[xi_1,-,2,xi_2]]) = ([[0],[0]])

Cada linha gera a condição:

xi_1 = 2 xi_2

O autovetor xi^1 correspondente ao autovalor r_1 = 1 é: xi^1 = ([[2],[1]]) .

Passo 4

Agora, encontre o segundo vetor autônomo linearmente independente correspondente a  r_2 = 1 . O vetor generalizado satisfaz a seguinte relação (A - r I) n = xi .

([[3,-,1,-,4],[1,-,1,-,1]]) ([[n_1],[n_2]]) = ([[2],[1]])

= ([[2,-,4],[1,-,2]]) ([[n_1],[n_2]]) = ([[2],[1]])

Simplificando a primeira linha, temos:

= ([[1,-,2],[1,-,2]]) ([[n_1],[n_2]]) = ([[1],[1]])

= ([[n_1,-,2,n_2],[n_1,-,2,n_2]]) = ([[1],[1]])

Cada linha gera a condição:

n_1 - 2 n_2 = 1

Vamos definir n_2 = k  (constante arbitrária) para obter n_1 = 1 + 2 k .

Então o vetor resultante é:

n = ([[1,+,2,k],[k]]) = ([[1],[0]]) + k ([[2],[1]])

O segundo termo é um múltiplo de  xi , portanto, pode ser descartado.

Então  n = ([[1],[0]]) .

E, portanto, a solução geral é:

x = c_1 ([[2],[1]]) e^t + c_2 [([[2],[1]]) t e^t + ([[1],[0]]) e^t]

Onde  c_1 , c_2 são constantes arbitrárias.

Passo 5

b) Agora os autovalores são iguais a um autovetor independente, então o valor crítico

( 0,0 ) é um nó inadequado. Como os dois valores próprios são positivos.

Portanto, o ponto crítico é um nó impróprio instável.

Passo 6

c) O plano de fase do diferencial fornecido pode ser desenhado abaixo:

Agora, o esboço do gráfico  x (0) = 1 de  x_1 por  t é mostrado abaixo:

Da mesma forma, podemos esboçar o gráfico  x (- 1) = - 2 de  x_1 por t é mostrado abaixo.

Passo 7

d) O esboço das trajetórias é mostrado abaixo:

Resposta

  1. Os autovalores são r_1 = 1 e r_2 = 1 .
  2. O autovetor xi^1 correspondente ao autovalor r_1 = 1 é: xi^1 = ([[2],[1]])

    O autovetor xi^2 correspondente ao autovalor r_2 = - (1)/(4) é: n = ([[1],[0]])

  3. O ponto crítico é um nó impróprio instável.
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