8 - dx/dt = -(2+y)(x+y), dy/dt = -y(1-x)

Passo 1

As equações dadas são:

d x d t = - 2 + y x + y   e   d y d t = - y ( 1 - x )

O objetivo é encontrar os pontos críticos para o sistema especificado.

Os pontos críticos são encontrados resolvendo as equações algébricas:

d x d t = 0 = d y d t

Isso é,

- 2 + y x + y

2 + y = 0 ou x + y = 0

y = - 2   ou x = - y

- y ( 1 - x ) = 0

y = 0 ou 1 - x = 0

y = 0 ou x = 1

Passo 2

Quando  y = - 2 , o valor de  x = 1 , então o ponto crítico é  ( 1 , - 2 ) .

Quando  y = 0 , o valor de  x = 0 , então o ponto crítico é  ( 0,0 ) .

Quando  x = 1 , então, o valor de  y = - 1 , então, o ponto crítico é ( 1 , - 1 ) .

Portanto, os pontos críticos são:

1 , - 2 , 0 , 0 , ( 1 , - 1 )

Passo 3

b) O objetivo é desenhar um campo de direção e um retrato de fase para o sistema usando um computador.

Use o software de bordo para desenhar um campo de direção do sistema.

Primeiro escreva o sistema como,

d x d t = - ( 2 + y ) ( x + y )

d y d t = - y ( 1 - x )

O gráfico é mostrado abaixo:

A figura acima é o campo de direção que contém  1 , - 2 , ( 0,0 ) e ( 1 , - 1 ) .

O ponto de espiral pode ser identificado abaixo:

Passo 4

c) A partir da figura, o ponto  1 , - 2 é um ponto de espiral,  ( 0,0 ) é um afundamento nodal e  ( 1 , - 1 ) é um ponto de sela. As trajetórias próximas ao ponto espiral se aproximam desse ponto 1 , - 2 , de modo que o ponto pode ser considerado assintoticamente estável. O campo de direção mostra que as trajetórias próximas ao nó  ( 0,0 ) estão se aproximando desse ponto, portanto, o ponto também é assintoticamente estável.

O ponto de sela  ( 1 , - 1 ) é instável.

Passo 5

d)

O objetivo é descrever a bacia de atração para cada ponto crítico assintoticamente estável.

Lembre-se do conceito,

Seja  P qualquer ponto no plano x y com a propriedade pela qual uma trajetória passando se aproxima do ponto crítico. Como  t → ∞ , então, diz-se que a trajetória é atraída pelo ponto crítico. O conjunto de todos esses pontos  P é chamado de bacia de atração ou região de estabilidade assintótica do ponto crítico.

Duas trajetórias entram no ponto de sela com inclinações de aproximadamente 0,6 . Todas as outras trajetórias acabam saindo da vizinhança do ponto.

A linha y = 0 é uma trajetória. Nesta linha,  y ' = 0 e x ' é positivo ou negativo, dependendo de x ser menor ou maior que 0 .

Assim, nenhuma outra trajetória pode cruzar essa linha.

Resposta

  1. Os pontos críticos 1 , - 2 , 0 , 0 , 1 , - 1 .
  2.  

  3. O ponto crítico  ( 1 , - 2 ) é um ponto espiral.
  4. O ponto crítico  0 , 0 é o ponto de nó e é assintoticamente estável.

    O ponto crítico  ( 1 , - 1 ) é um ponto de sela e instável.

  5. Duas trajetórias entram no ponto de sela com inclinações de aproximadamente 0,6 . Todas as outras trajetórias acabam saindo da vizinhança do ponto.

A linha y = 0 é uma trajetória. Nesta linha,  y ' = 0 e x ' é positivo ou negativo, dependendo de x ser menor ou maior que 0 .

Assim, nenhuma outra trajetória pode cruzar essa linha.

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