Enunciado

8 - (d x)/(d t) = - (2 + y) (x + y) , (d y)/(d t) = - y ( 1 - x )

Passo 1

As equações dadas são:

(d x)/(d t) = - (2 + y) (x + y) e (d y)/(d t) = - y ( 1 - x )

O objetivo é encontrar os pontos críticos para o sistema especificado.

Os pontos críticos são encontrados resolvendo as equações algébricas:

(d x)/(d t) = 0 = (d y)/(d t)

Isso é,

- (2 + y) (x + y)

2 + y = 0 ou x + y = 0

y = - 2 ou x = - y

- y ( 1 - x ) = 0

y = 0 ou 1 - x = 0

y = 0 ou x = 1

Passo 2

Quando  y = - 2 , o valor de  x = 1 , então o ponto crítico é  ( 1 , - 2 ) .

Quando  y = 0 , o valor de  x = 0 , então o ponto crítico é  ( 0,0 ) .

Quando  x = 1 , então, o valor de  y = - 1 , então, o ponto crítico é ( 1 , - 1 ) .

Portanto, os pontos críticos são:

(1 , - 2) , (0 , 0) , ( 1 , - 1 )

Passo 3

b) O objetivo é desenhar um campo de direção e um retrato de fase para o sistema usando um computador.

Use o software de bordo para desenhar um campo de direção do sistema.

Primeiro escreva o sistema como,

(d x)/(d t) = - ( 2 + y ) ( x + y )

(d y)/(d t) = - y ( 1 - x )

O gráfico é mostrado abaixo:

A figura acima é o campo de direção que contém  (1 , - 2) , ( 0,0 ) e ( 1 , - 1 ) .

O ponto de espiral pode ser identificado abaixo:

Passo 4

c) A partir da figura, o ponto  (1 , - 2) é um ponto de espiral,  ( 0,0 ) é um afundamento nodal e  ( 1 , - 1 ) é um ponto de sela. As trajetórias próximas ao ponto espiral se aproximam desse ponto (1 , - 2) , de modo que o ponto pode ser considerado assintoticamente estável. O campo de direção mostra que as trajetórias próximas ao nó  ( 0,0 ) estão se aproximando desse ponto, portanto, o ponto também é assintoticamente estável.

O ponto de sela  ( 1 , - 1 ) é instável.

Passo 5

d)

O objetivo é descrever a bacia de atração para cada ponto crítico assintoticamente estável.

Lembre-se do conceito,

Seja  P qualquer ponto no plano x y com a propriedade pela qual uma trajetória passando se aproxima do ponto crítico. Como  t -> oo , então, diz-se que a trajetória é atraída pelo ponto crítico. O conjunto de todos esses pontos  P é chamado de bacia de atração ou região de estabilidade assintótica do ponto crítico.

Duas trajetórias entram no ponto de sela com inclinações de aproximadamente 0,6 . Todas as outras trajetórias acabam saindo da vizinhança do ponto.

A linha y = 0 é uma trajetória. Nesta linha,  y^' = 0 e x ' é positivo ou negativo, dependendo de x ser menor ou maior que 0 .

Assim, nenhuma outra trajetória pode cruzar essa linha.

Resposta

  1. Os pontos críticos (1 , - 2) , (0 , 0) , (1 , - 1) .
  2.  

  3. O ponto crítico  ( 1 , - 2 ) é um ponto espiral.
  4. O ponto crítico  (0 , 0) é o ponto de nó e é assintoticamente estável.

    O ponto crítico  ( 1 , - 1 ) é um ponto de sela e instável.

  5. Duas trajetórias entram no ponto de sela com inclinações de aproximadamente 0,6 . Todas as outras trajetórias acabam saindo da vizinhança do ponto.

A linha y = 0 é uma trajetória. Nesta linha,  y^' = 0 e x ' é positivo ou negativo, dependendo de x ser menor ou maior que 0 .

Assim, nenhuma outra trajetória pode cruzar essa linha.

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15 - d x d t = x 2 - x - y , d y d t = - x + 3 y - 2 x y
Em cada um dos problemas de 17 a 24 : Encontre uma equação da forma H ( x ,y )=c para as trajetórias. d x d t = 2 x 2 y – 3 x 2 – 4 y , d y d t = - 2 x y 2 + 6 x y