Enunciado

16 - (d x)/(d t) = x (2 - x - y) , (d y)/(d t) = ( 1 - y ) ( 2 + x )

Passo 1

As equações dadas são:

(d x)/(d t) = x ( 2 - x - y ) e (d y)/(d t) = ( 1 - y ) ( 2 + x )

O objetivo é encontrar os pontos críticos para o sistema especificado.

Os pontos críticos são encontrados resolvendo as equações algébricas:

(d x)/(d t) = 0 = (d y)/(d t)

O objetivo é encontrar todos os pontos críticos do sistema acima.

Agora, para os pontos críticos,

x ( 2 - x - y ) = 0 ... ... . ( 1 )

E,

( 1 - y ) ( 2 + x ) = 0 ... ... . ( 2 )

Com x = 0 , temos y = 0 .

Com x = 1 , temos a equação como (2 - 1 - y) = 0 que pode ser resolvida se y = 1

Com x = - 2 , temos y = 4 .

Assim, temos quatro pontos críticos, que são:

(0 , 1) , (1 , 1) , (- 2 , 4)

Passo 2

b) Em seguida, queremos traçar um campo de direção e um retrato de fase para o sistema usando um computador.

Este é o retrato da fase com o campo de direção e retrato da fase:

Passo 3

c)

Para o ponto crítico, ( 0 , 1 ) é um ponto de espiral e instável.

Para o ponto crítico,  ( 1 , 1 ) é um ponto de nó e é assintoticamente estável.

Para o ponto crítico ( - 2 , 4 ) temos um ponto espiral e instável.

Passo 4

d) O esboço da bacia de atração é mostrado abaixo:

Na figura, veja a região do plano de fase que contém o ponto de sela e pontos em espiral. Além disso, observe que as trajetórias incluem as trajetórias que entram no

ponto de sela como  t -> oo .

Nessa região; toda trajetória se aproxima do ponto de nó ( 1,1 ) .

Portanto, esta é a bacia de atração para o ponto espiral.

Resposta

  1. Os pontos críticos são (0,1) , (1,1) , (- 2,4)
  2. O campo de direção é mostrado abaixo:
  3. Para o ponto crítico, ( 0,1 ) é um ponto de espiral e instável.
  4. Para o ponto crítico,  ( 1,1 ) é um ponto de nó e é assintoticamente estável.

    Para o ponto crítico ( - 2,4 ) temos um ponto espiral e instável.

  5. Na figura, veja a região do plano de fase que contém o ponto de sela e pontos em espiral. Além disso, observe que as trajetórias incluem as trajetórias que entram no

ponto de nó como  t -> oo .

Nessa região; toda trajetória se aproxima do ponto de nó ( 1,1 ) .

Portanto, esta é a bacia de atração para o ponto espiral.

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10 - d x d t = 2 + y y - x , d y d t = y ( 2 + x - x 2 )
11 - d x d t = - x + 2 x y , d y d t = y - x 2 - y 2