Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.2 - Ex. 4
4 -
Passo 1
As equações dadas são:
Então
Esta equação é separável com:
Integrando ambos os lados,
Ou,
Das condições iniciais fornecidas.
Então, .
Portanto, a solução da equação (1) é b.
Ou,
Passo 2
O sistema de equações fornecido também pode ser escrito como:
Vamos tomar como .
Então nós temos
Passo 3
Tomemos .
Então obtemos o sistema algébrico.
Os autovalores são as raízes da equação.
Então os autovalores são .
Passo 4
Agora , a equação fornece:
Cada linha gera .
Então o autovetor correspondente é .
Da mesma forma, o autovetor correspondente ao autovalor é
E a segunda solução é .
Passo 5
Para encontrar uma solução com valor real, vamos assumir que seja
Vamos substituir e .
Agora , segue-se que e são linearmente independentes e constituem um conjunto fundamental de soluções com valor real.
Então,
Ou,
Passo 6
Usando condições iniciais,
Nós achamos,
Logo, e .
Passo 7
Portanto,
Logo, e .
Portanto, os dois conjuntos de soluções são:
Passo 8
Agora, as trajetórias deste sistema são:
Para determinar a direção do movimento ao longo das trajetórias, vemos que, para condições iniciais positivas, aumentará onde diminuirá.
Resposta
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