14 - dx/dt = (2-x)(y-x), dy/dt = y(2-x-x^2)

Passo 1

As equações dadas são:

d x d t = ( 2 - x ) ( y - x )   e   d y d t = y ( 2 - x - x 2 )

O objetivo é encontrar os pontos críticos para o sistema especificado.

Os pontos críticos são encontrados resolvendo as equações algébricas:

d x d t = 0 = d y d t

O objetivo é encontrar todos os pontos críticos do sistema acima.

Agora, para os pontos críticos,

2 - x y - x = 0 … … .   ( 1 )

E,

y ( 2 - x - x 2 ) = 0 … … . ( 2 )

Agora a equação ( 1 ) implica que,

Com y = 0 , temos x = 0 ou x = 2 .

Com x = - 2 , temos a equação como 4 y + 2 = 0 que pode ser resolvida se y = - 2

Com x = 1 , temos a equação como y - 1 = 0 que nos fornece y = 1 .

E a equação ( 2 ) implica que,

Caso x = - 2 ou x = 1 , temos y = 0 .

Assim, temos quatro pontos críticos, que são:

0,0 , 2,0 , - 2 , - 2 , ( 1,1 )

Passo 2

b) Em seguida, queremos traçar um campo de direção e um retrato de fase para o sistema usando um computador.

Este é o retrato da fase:

Passo 3

c)

Para os pontos críticos, ( 2,0 ) e ( 0,0 ) todas as trajetórias estão se afastando das soluções de equilíbrio, portanto, este é um ponto de sela instável.

Para os pontos críticos,  1,1 e ( - 2 , - 2 ) é óbvio que todas as trajetórias são em forma de espiral e convergem para o ponto fixo, portanto, essa é uma espiral assintoticamente estável.

Passo 4

d) A bacia de atração é definida como o conjunto de todos os pontos que se aproximam de um determinado ponto crítico. É definida como a região entre as separatrizes de um ponto crítico.

A bacia de atração para ( - 2 , - 2 ) é a região sombreada em laranja do quadrante inferior esquerdo e a bacia de atração para ( 1,1 ) é a região sombreada em verde do quadrante superior esquerdo.

O gráfico da bacia de atração descrito acima é mostrado aqui:

Portanto, a bacia de atração do ponto ( 1,1 ) é definido pelas linhas x < 2 e y > 0 .

A bacia de atração do ponto ( - 2 , - 2 ) é definido pelas linhas x < 2 e y < 0 .

Resposta

  1. Os pontos críticos são   0,0 , 2,0 , - 2 , - 2 , ( 1,1 )
  2. O campo de direção é mostrado abaixo:
  3. Este é o retrato de fase:

  4. Para os pontos críticos, ( 2,0 ) e ( 0,0 ) todas as trajetórias estão se afastando das soluções de equilíbrio, portanto, este é um ponto de sela instável.
  5. Para os pontos críticos,  1,1 e ( - 2 , - 2 ) é óbvio que todas as trajetórias são em forma de espiral e convergem para o ponto fixo, portanto, essa é uma espiral assintoticamente estável.

  6. Portanto, a bacia de atração do ponto ( 1,1 ) é definido pelas linhas x < 2 e y > 0 .

A bacia de atração do ponto ( - 2 , - 2 ) é definido pelas linhas x < 2 e y < 0 .

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