Enunciado

Um breve cálculo demonstra que se 0 ≤ x ≤ 1 , então a segunda derivada de f x = 1 + x 2 fica entre 0 e 8 . Com base nisso, diga quantas subdivisões serão necessárias, aproximadamente, para estimar a integral de f de 0 ate 1, com um erro não superior a 10 - 3 em valor absoluto usando a regra do trapézio?

Passo 1

Vamos precisar da regra do trapézio ne? Vou por aqui para gente relembrar, ta?

E ≤   M b - a 12 n 2

Se f ' ' for contínua e   M for qualquer limitante superior para os valores de f ' ' em a , b .

Como a questão nos diz que 0 ≤ f ' ' x ≤ 8   ⟹   M =   8 .

Além disso, Δ x = 1 - 0 n = 1 n .  

Precisamos que

E ≤ 0,001    

Passo 2

Vamos começar as contas, então basta substituir os valores encontrados

1 12 1 n 2 8 ≤ 0,001   ⟹  

2 3 n 2 ≤   0,001     ⟹

3 n 2 2 ≥ 1000   ⟹

  n 2 ≥ 2000 3   ⟹

n ≥ 25,82  

Logo, n ≥   26 .

Resposta

n ≥   26 .

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