c) Encontre a equação do plano tangente em (x_0, y_0, 0) .

Passo 1

Nos itens anteriores, vimos que

φ u , t = cos ⁡ u cosh ⁡ t , sin ⁡ u cos ⁡ t , sinh ⁡ t

é a parametrização para o hiperboloide. Além disso, o vetor normal é:

n → u , t = cos ⁡ u cosh 2 ⁡ t , sin ⁡ u cosh 2 ⁡ t , - cosh ⁡ t sinh ⁡ t

Vamos utilizar esses resultados para encontramos a equação do plano tangente.

Passo 2

Para z = 0 , devemos ter

sinh ⁡ t = 0 ⟹ t = 0

Como cosh ⁡ 0 = 1 , segue que cos ⁡ u = x 0 e sin ⁡ u = y 0 .

Passo 3

Dessa maneira, temos:

n → u , t = x 0 ⋅ 1 2 ,   y 0 ⋅ 1 2 , - 1 ⋅ 0 n → u , t = x 0 , y 0 , 0

Passo 4

A equação do plano será:

x x 0 + y y 0 + 0 z + d = 0

O valor de d é obtido fazendo o plano passar por x 0 , y 0 , 0 :

x 0 ⋅ x 0 + y 0 ⋅ y 0 + d = 0 d = - x 0 2 - y 0 2

Portanto, temos:

x x 0 + y y 0 - x 0 2 - y 0 2 = 0 x x 0 + y y 0 = x 0 2 + y 0 2

Porém, da equação do hiperboloide, temos que

x 0 2 + y 0 2 = 1

Assim, a equação do plano é:

x x 0 + y y 0 = 1

Resposta

A equação é x x 0 + y y 0 = 1 .

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