Enunciado

Nos exercícios 15 a 20, parametrizar as seguintes superfícies, dadas implicitamente:

x ²   +   y ²   +   z ²   -   2 x   -   4 y   =   4

Passo 1

x ²   +   y ²   +   z ²   -   2 x   -   4 y   =   4

Começamos completando os quadrados:

x 2 -   2 x + 1 + y 2 - 4 y + 4 +   z 2 =   4 + 1 + 4

x - 1 2 + y - 2 2 + z 2 = 3 2

Pela equação, vemos que é uma esfera, de raio a = 3 e centro r c = ( 1,2 , 0 )

Passo 2

Pela seção 10.2.1 a equação paramétrica da esfera centrada na origem de raio a é:

r → e s f e r a   n a o r i g e m = a cos ⁡ v cos ⁡ u i → + a cos ⁡ v sen ⁡ u j → + a sen ⁡ v k →

Então, para uma esfera centrada em qualquer lugar, basta somar a equação anterior a um vetor que indique o centro da esfera:

r → e s f e r a = r → e s f e r a   n a o r i g e m + r c

Passo 3

Aplicando a lógica do passo anterior:

r → e s f e r a   n a o r i g e m = 3 cos ⁡ v cos ⁡ u i → + 3 cos ⁡ v sen ⁡ u j → + 3 sen ⁡ v k →

O centro é:

r c = i → + 2 j →

Então a equação final é:

r → e s f e r a = r → e s f e r a   n a o r i g e m + r c

r → e s f e r a = ( 3 cos ⁡ u cos ⁡ v + 1 ) i → + ( 3 cos ⁡ v sen ⁡ u + 2 ) j → + 3 sen ⁡ v k →

Dessa forma:

x = 3 cos ⁡ u cos ⁡ v + 1

y = 3 cos ⁡ v sen ⁡ u + 2

z = 3 v

Passo 4

Como não há restrições sobre os limites, podemos dizer

0 ≤ u ≤ 2 π

- π 2 ≤ v ≤ π 2

Resposta

x = 3 cos ⁡ u cos ⁡ v + 1

y = 3 cos ⁡ v sen ⁡ u + 2

z = 3 sen ⁡ v

0 ≤ u ≤ 2 π

- π 2 ≤ v ≤ π 2

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Dada a esfera de raio 2 centrada na origem, encontre a equação do planto tangente a ela no ponto 1,1 , 2 , considerando a esfera como:b) Uma esfera de nível de F x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 .
Considere a superfície parametrizada por φ r ,θ =r cos ⁡ θ ,r sin ⁡ θ ,θ ,0 ≤ r ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤ 4 π b) Encontre uma expressão para um vetor normal à superfície
Considere a superfície parametrizada por φ r , θ = r cos ⁡ θ ,r sin ⁡ θ , θ ,0 ≤ r ≤ 1 ,0 ≤ θ ≤ 4 π c) Essa superfície é regular?
b) Encontre um vetor normal a esta superfície
c) Encontre a equação do plano tangente em x 0 , y 0 , 0 .