Enunciado

Nos exercícios 8 a 14, obter uma equação cartesiana para a superfície dada. Representá-la graficamente.

r → u , v = ( 2 cos ⁡ u , 3 sen ⁡ u ,   v )

Passo 1

Observe a função dada pela questão:

r → u , v = ( 2 cos ⁡ u , 3 sen ⁡ u ,   v )

Podemos dizer que a forma geral dessa equação é:

r → u , v = ( a cos ⁡ u , b sen ⁡ u ,   v )

Observando a seção 10.2.3 percebemos que a função acima é semelhando a função paramétrica do cilindro, que é dada por:

r → c i l i n d r o u , v = ( a cos ⁡ u , a sen ⁡ u , v )

0 ≤ u ≤ π 2 e - ∞ ≤ v ≤ + ∞

Mas observer que o cilindro da equação dada pela questão possui raios diferentes nas componentes x e y . Isso nos leva a crer que seja um cilindro de base elíptica.

Sabemos que a formação cartesiana de um cilindro de base circular com raio a é:

x 2 a 2 + y 2 a 2 = 1

Então, podemos intuir que para uma base elíptica podemos usar:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Passo 2

Então adaptando a equação: r → u , v = ( 2 cos ⁡ u , 3 sen ⁡ u ,   v ) para a forma geral   x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 será:

x 2 4 + y 2 9 = 1

Passo 3

Outra forma de representar a equação paramétrica   r → u , v = ( 2 cos ⁡ u , 3 sen ⁡ u ,   v ) é utilizando usas componentes:

x ( u , v ) = 2 cos ⁡ u y ( u , v ) = 3 sen ⁡ u z ( u , v ) =   v

Passo 4

Aplicando os seguintes limites

0 ≤ u ≤ π 2

Para a equação de x

x 0 , v = 2 cos ⁡ 0 ⇒ x = 2

x π 2 , v = 2 cos ⁡ π 2 ⇒ x = 0

Então os limites da equação são:

0 ≤ x ≤ 2

Passo 5

Aplicando os seguintes limites

0 ≤ u ≤ π 2

Para a equação de y

y 0 , v = 3 sen ⁡ 0 ⇒ y = 0

y π 2 , v = 3 sen ⁡ π 2 ⇒ y = 3

Então os limites da equação são:

0 ≤ y ≤ 3

Passo 6

Aplicando os seguintes limites

0 < v < 4

Para a equação de z

z u , 0 =   0

z ( u , 4 ) =   4

Então os limites da equação são:

0 ≤ z ≤ 4

Passo 7

Resposta

0 ≤ x ≤ 2

0 ≤ y ≤ 3

0 ≤ z ≤ 4

x 2 4 + y 2 9 = 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada. r → u , v = u + v i → + 3 - v j → + 1 + 4 u + 5 v k →
Determine se os pontos P e Q estão na superfície dada r → u , v = u + v ,u 2 - v ,u + v 2 P 3 , - 1,5 ,Q ( - 1,3 , 4 )
Determine se os pontos P e Q estão na superfície dada r → u , v = 2 u + 3 v ,1 + 5 u - v ,2 + u + v P 7,10,4 ,Q ( 5,22,5 )
Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada. r s , t = s , t , t 2 - s 2
Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada. r s , t = ss e n2 t , s 2 , scos ⁡ 2 t