Enunciado

Numa cabo telegráfico, a medida da velocidade escalar do sinal é proporcional a x 2 ln ⁡ 1 x , onde x é a razão entre a medida do raio do núcleo do cabo e a sua espessura. Ache o valor de l n x para qual o velocidade escalar do sinal seja máxima.

Passo 1

Queremos encontrar o valor para l n x de tal modo que a velocidade escalar seja máxima. A forma de encontrar isso é derivando a nossa equação e igualando a zero, buscando o(s) ponto(s) de máximo. Primeiramente, vamos reorganizar a equação para que fique melhor de trabalharmos.

v = x 2 ln ⁡ 1 x v = x 2 ln ⁡ 1 - ln ⁡ x v = x 2 ln ⁡ 1 - x 2 ln ⁡ x v = - x ² l n ⁡ ( x )

Passo 2

Vamos agora derivar a equação:

d v d t = 0 → - 2 x l n x - x 2 x = 0 2 x l n x = - x 2 x 2 x l n x = - x l n x = - x 2 x l n x = - 1 2

Resposta

O valor de x l n x para que a velocidade escalar do sinal seja máxima é:

ln ⁡ x = - 1 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Dê a interpretação geométrica da desigualdade do Exercício 51, traçando no mesmo par de eixos esboços dos gráficos das funções f ,geh definidas pelas relações: f x = 1 - 1 x g x = l n x h x = x - 1
Uma indústria determinou que se suas despesas semanais com propaganda forem x , então sendo S seu faturamento semanal proveniente das vendas, S = 4000 l n ⁡ ( x ) . (a) determine a taxa de variação do
Use o resultado do Exercício 51 para provar que lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + x x = 1 .
A densidade linear de uma barra num ponto a x cm de um extremo é de 2 ( 1 + x ) g/cm. Se a barra tiver 15 cm de comprimento, ache a massa e o centro de massa da barra.
Prove que x - 1 - ln ⁡ x0e1 - ln ⁡ x - 1 x0 para todo x0 e x ≠ 1 , estabelecendo assim a desigualdade 1 - 1 xln ⁡ xx - 1 para todo x0 e x ≠ 1 .