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Enunciado

Ache a equação da elipse tendo as propriedades dadas e faça um esboço do gráfico.

Um foco em 2 ,   - 3 , um vértice em ( 2 ,   4 ) , e centro sobre o eixo x .

Passo 1

A questão pede a equação da elipse com um foco em ( 2 ,   - 3 ) , um vértice em ( 2 ,   4 ) e cujo centro está sobre o eixo x .

Se o centro está sobre o eixo x , ele é do tipo ( k ,   0 ). Além disso, note que tanto o foco como o vértice estão sobre a reta x = 2 , que é uma reta vertical. Assim, o eixo principal da elipse é vertical e sua equação será do tipo

x - k 2 b 2 + y 2 a 2 = 1

Notemos também que o centro da elipse deve estar sobre o eixo principal dela, cuja equação é x = 2 . Assim, o ponto ( k ,   0 ) deve pertencer a essa reta, de modo que k = 2 .

A distância do foco até o centro será c = 0 - - 3 = 3 e a do vértice até o centro será a = 4 - 0 = 4 .

Passo 2

Para termos a equação completa da elipse só falta achar b :

a 2 = b 2 + c 2 ⇒ 16 = b 2 + 9 ⇒ b 2 = 7 ⇒ b = 7

Assim, a equação da elipse será

x - 2 2 7 + y 2 16 = 1

Passo 3

O esboço da elipse é mostrado a seguir:

Resposta

x - 2 2 7 + y 2 16 = 1

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