Enunciado

Para cada uma das condições de contorno a seguir, encontre o menor autovalor (a força de deformação) de y ^(4) + λy′′ = 0 e encontre também a autofunção associada (a forma da coluna deformada).

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos as deformações verticais de uma barra em suas condições de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser lembrar que tem como base o problema físico:

λ = P E I > 0

Com isso, podemos assumir que a equação característica é:

r 4 + μ ² r ² = 0

Usando a definição, chegamos na seguinte solução geral:

y x = c 1 + c 2 x + c 3 cos ⁡ μ x + c 4 sin ⁡ μ x

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

Usando as condições de contorno, teremos:

c 1 + c 3 = 0

c 3 = 0

c 3 cos ⁡ μ L + c 4 sin ⁡ μ L   = 0

c 1 + c 2 L + c 3 cos ⁡ μ L + c 4 sin ⁡ μ L = 0

sin ⁡ μ L = 0

λ n = n 2 π 2 L 2

Resposta

λ n = n 2 π 2 L 2

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