Enunciado

1.

(a) Mostre que os autovalores do sistema linear (8), válidos perto da origem, são dados pela Eq. (10).

(b) Determine os autovetores associados.

(c) Determine os autovalores e autovetores do sistema (8) quando r   =   28 .

Passo 1

L e t r a   A :

A equação 8 do nossa seção é:

x y z ' = - 10 10 0 r - 1 0 0 0 - 8 3 x y z

E vimos na mesma seção logo abaixo que se podem encontrar os autovalores dela pela equação:

- 8 3 + λ λ 2 + 11 λ - 10 r - 1 = 0

Veja então que essa equação se resolve facilmente já que para ela ser zero...

O u   8 3 + λ = 0                     o u             λ 2 + 11 λ - 10 r - 1 = 0

Da primeira tiramos que...

λ 1 = - 8 3

E da segunda...

λ 2 + 11 λ - 10 r - 1 = 0

Usando Báskara...

λ = - 11 ± 11 2 + 40 r - 1 2

Então...

λ 2 = - 11 + 11 2 + 40 r - 40 2             e             λ 3 = - 11 - 11 2 + 40 r - 40 2

Ou, como 11 2 = 121 ...

λ 2 = - 11 + 81 + 40 r 2             e             λ 3 = - 11 - 81 + 40 r 2

Provando que de fato a equação 10 representa os autovalores da sistema!

Passo 2

L e t r a   B :

Pois bem, os autovalores associados podem ser calculados pela expressão algébrica:

A - λ I v = 0

Onde v representam os nossos autovetores. Como queremos os encontrar, chamemos as suas coordenadas até então desconhecidas de a , b e c :

v = a b c

Lembre-se de que A - λ I é o mesmo que retirar λ da diagonal principal!

Sendo assim, para o λ 1 ...

A - λ 1 I v 1 = 0   →

- 10 - λ 1 10 0 r - 1 - λ 1 0 0 0 - 8 3 - λ 1 a b c = 0   →

- 10 - - 8 3 10 0 r - 1 - - 8 3 0 0 0 0 a b c = 0   →

- 22 3 10 0 r 5 3 0 0 0 0 a b c = 0

Multiplicando essas matrizes...

- 22 3 a + 10 b = 0 r a + 5 3 b = 0 0 = 0

Das duas primeiras equações, como r não pode ser 0 ...

a = 0         e         b = 0

Como não encontramos nenhuma restrição sobre c , é porque ele está livre podendo ser quem ele quiser (digamos c = 1 ). Então, um autovetor associado é...

v = 0 0 1

Passo 3

Vamos basicamente fazer a mesma coisa, mas agora para λ 2 :

A - λ 2 I v 2 = 0   →

- 10 - λ 2 10 0 r - 1 - λ 2 0 0 0 - 8 3 - λ 2 a b c = 0   →

Poxa, λ 2 é esse valor feio aqui:

λ 2 = - 11 + 81 + 40 r 2

Então vamos primeiro fazer o produto matricial e depois substituiremos. Resolvendo então o produto matricial...

- 10 - λ 2 a + 10 b = 0 r a + - 1 - λ 2 b = 0 - 8 3 - λ 2 c = 0

Da última equação, tiramos que...

c = 0

Das duas primeiras, no entanto, multiplicando a segunda por 10...

10 r a - 10 b - 10 λ 2 b = 0

E somando com a primeira equação...

- 10 a - λ 2 a + 10 r a - 10 λ 2 b = 0   →

Podemos passar esse termo com b para o outro lado...

- 10 - λ 2 + 10 r a = 10 λ 2 b →

E isola-lo em termos de a :

b = - 10 - λ 2 + 10 r a 10 λ 2

Se escolhermos a igual a 10 λ 2 , então...

a = 10 λ 2

b = - 10 - λ 2 + 10 r

E o nosso segundo autovetor será...

v 2 = 10 λ 2 - 10 - λ 2 + 10 r 0

Ou seja, substituindo λ 2 ...

v 2 = 5 - 11 + 81 + 40 r - 10 + 11 - 81 + 40 r 2 + 10 r 0     →

v 2 = 5 - 11 + 81 + 40 r - 9 - 81 + 40 r + 20 r 2 0  

Passo 4

Para o autovetor λ 3 , teríamos basicamente o mesmo sistema de equações que o anterior, com diferença que no lugar de λ 2 devemos ter λ 3 :

- 10 - λ 3 10 0 r - 1 - λ 3 0 0 0 - 8 3 - λ 3 a b c = 0

Concluímos então que o autovetor v 3 será basicamente o mesmo:

v 3 = 10 λ 3 - 10 - λ 3 + 10 r 0

Portanto, trocando o λ 3 ....

v 3 = 5 - 11 - 81 + 40 r - 9 + 81 + 40 r + 20 r 2 0  

Passo 5

L e t r a   C :

Bem, aqui não tem mistérios nenhum, neh? Basta você pegar os nossos autovalores determinados:

λ 1 = - 8 3 ,                           λ 2 = - 11 + 81 + 40 r 2             e             λ 3 = - 11 - 81 + 40 r 2

E trocar o r por 28 :

λ 1 = - 8 3 ,                           λ 2 = - 11 + 1201 2             e             λ 3 = - 11 - 1201 2

Fazendo o mesmo com os nossos autovetores...

v 1 = 0 0 1

v 2 = 5 - 11 + 81 + 40 r - 9 - 81 + 40 r + 20 r 2 0 = - 55 + 5 1201 551 - 1201 2 0

v 3 = 5 - 11 - 81 + 40 r - 9 + 81 + 40 r + 20 r 2 0 = - 55 - 5 1201 551 + 1201 2 0  

Resposta

Letra A: Demonstração.

Letra B:

v 1 = 0 0 1 ,               v 2 = 5 - 11 + 81 + 40 r - 9 - 81 + 40 r + 20 r 2 0               e                   v 3 = 5 - 11 - 81 + 40 r - 9 + 81 + 40 r + 20 r 2 0

Letra C:

λ 1 = - 8 3 ,                           λ 2 = - 11 + 1201 2             e             λ 3 = - 11 - 1201 2

E

v 1 = 0 0 1 ,                         v 2 = - 55 + 5 1201 551 - 1201 2 0                   e                         v 3 = - 55 - 5 1201 551 + 1201 2 0

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