Enunciado

Cada um desses problemas de valor extremo possui uma solução com um valor máximo e um valor mínimo. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).

f x , y , z = ln ⁡ x 2 + 1 + ln ⁡ y 2 + 1 + ln ⁡ ( z 2 + 1 ) ,     x 2 + y 2 + z 2 = 12

Passo 1

Para usar os multiplicadores de Lagrange, precisamos que:

∇ f x , y =   λ ∇ g ( x , y )

2 x x 2 + 1 ,   2 y y 2 + 1 , 2 z z 2 + 1 = λ ( 2 x , 2 y , 2 z )

Beleza, daqui a gente tira que:

2 x x 2 + 1 = λ 2 x

2 y y 2 + 1 = λ 2 y

2 z z 2 + 1 = λ 2 z

E precisamos que

x 2 + y 2 + z 2 = 12

Vamos isolar o λ ...

Passo 2

λ = 2 x 2 x ( x 2 + 1 ) = 2 y 2 y ( y 2 + 1 ) = 2 z 2 z ( z 2 + 1 )

λ = 1 x 2 + 1 = 1 y 2 + 1 =   1 z 2 + 1

(a gente tá considerando x ,   y   e   z diferentes de zero)

Vamos separar de duas em duas...

1 x 2 + 1 = 1 y 2 + 1 → x 2 + 1 = y 2 + 1 → x 2 = y 2

1 y 2 + 1 =   1 z 2 + 1 → y 2 + 1 = z 2 + 1 → y 2 = z 2

Vamos jogar tudo em função de y   na equação de x 2 + y 2 + z 2 = 12   ...

y 2 + y 2 + y 2 = 12

3 y 2 = 12

y 2 = 4

y = ± 2

E daí , teremos x = z = ± 2 .

Passo 3

  ( ± 2 , ± 2 ± 2 )

Veja que nesse caso como x ,   y   e   z estão ao quadrado, o sinal não vai alterar o valor, e teremos que considerar só um dos casos.

Vamos ver o valor da função f nesses pontos agora...

  • f ± 2 ,   ± 2 ± 2 = ln ⁡ 5 + ln ⁡ 5 + ln ⁡ 5 = 3 ln ⁡ 5

Agora, se considerarmos que umas das variáveis é zero, teremos o equivalente a:

y 2 + y 2 = 12

y 2 = 6

y = ± 6

E aí o valor da função seria:

f ± 6 , ± 6 , ± 6   = 3 ln ⁡ 7

E se duas variáveis forem 0 , teremos:

y 2 = 12

y = ± 12

E aí o valor da função seria:

f ± 12 , ± 12 , ± 12 = 3 ln ⁡ 13  

Então, o valor mínimo da função nessa restrição é 3 ln ⁡ 5 e o valor máximo é 3 ln ⁡ 13 .

Resposta

3 ln ⁡ 5   e   3 ln ⁡ 13

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