Enunciado

Cada um desses problemas de valor extremo possui uma solução com um valor máximo e um valor mínimo. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).

f x , y , z = x y 2 z ,     x 2 + y 2 + z 2 = 4

Passo 1

Para usar os multiplicadores de Lagrange, precisamos que:

∇ f x , y =   λ ∇ g ( x , y )

y 2 z ,   2 x y z ,   x y 2 = λ ( 2 x , 2 y , 2 z )

Beleza, daqui a gente tira que:

y 2   z = λ 2 x

2 x y z = λ 2 y

x y 2 = λ 2 z

E precisamos que

x 2 + y 2 + z 2 = 4

Vamos isolar o λ ...

Passo 2

λ = y 2 z 2 x = 2 x y z 2 y = x y 2 2 z

Vamos separar de duas em duas...

y 2 z 2 x = 2 x y z 2 y → 4 x 2 y z = 2 y 3 z → 2 x 2 = y 2

2 x y z 2 y = x y 2 2 z → 2 x y 3 = 4 x y z 2 → y 2 = 2 z 2 = 2 x 2 → z 2 = x 2

(a gente tá considerando x ,   y   e   z diferentes de zero)

Vamos jogar tudo em função de x   na equação de x 2 + y 2 + z 2 = 4   ...

x 2 + 2 x 2 + x 2 = 4

4 x 2 = 4

x 2 = 1

x = ± 1

E daí , teremos y = ± 2 e z =   ± 1 .

Passo 3

Os pontos que nós vamos considerar então são:

- 1 , - 2 ,   - 1 ,   - 1 ,   2 ,   - 1 ,   - 1 ,   2 , 1 , ( - 1 , - 2 , 1 )

  1 ,   2 ,   1 ,   1 ,   - 2 ,   1 ,   1 ,   2 ,   - 1 ,   1 ,   - 2 ,   - 1

Vamos ver o valor da função f nesses pontos agora...

  • f - 1 , - 2 ,   - 1 = f - 1 ,   2 ,   - 1 = f 1 ,   2 ,   1 = f 1 ,   - 2 ,   1 =     2
  • f ,   - 1 ,   2 , 1 = f - 1 , - 2 , 1 = f 1 ,   2 ,   - 1 = f   1 ,   - 2 ,   - 1 = - 2

Ou seja, o valor mínimo da função na restrição dada é - 2 , e o valor máximo é 2 .

Resposta

- 2   e   2

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