Enunciado

Use o método dos multiplicadores de lagrange para encontrar os extremos relativo de f, sujeito ao vínculo indicado, ache também os pontos nos quais os extremos ocorrem. Suponha que os extremos relativos existam.

Passo 1

Falaaaa ai pessoal tudo blz?

Então galerinha sabemos que a função e os vínculos dados são:

f x , y = x 2 y ,                       e   o   v í n c u l o   é   x 2 + 8 y 2 = 8 → x 2 + 8 y 2 - 8 = 0

Vamos ter que usar a formula de multiplicação de lagrange que fica assim:

∇ f x , y = λ ∇ g ( x , y )

Passo 2

Agora vamos precisar derivar por x e por y a f ( x , y ) e o vínculo g ( x , y ) ,

∂ f ∂ x = 2 x y     ∂ f ∂ y = x 2

∂ g ∂ x = 2 x           ∂ g ∂ y = 16 y

Agora aplicando na formula vamos ter que,

∇ 2 x y , x 2 = λ ( 2 x ,   16 y )

A partir disso os extremos relativos de f vão ser

f λ ,     4 λ = f ( 1,4 ) , sendo máximo relativo ,

f 1,4 = 4

Mínimo relativo ,

f - 1 , - 4 = - 4

Resposta

f λ ,   4 λ

máximo relativo: f 1,4 = 4

Mínimo relativo : f - 1 , - 4 = - 4

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Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s). f x , y , z = 2 x + 2 y + z ; x 2 + y 2 + z 2 = 9
Determine os valores extremos de f sujeita a ambas as restrições. f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 ;x - y = 1 , y 2 - z 2 = 1
Determine os valores extremos de f sujeita a ambas as restrições. f x , y , z = x + 2 y ;x + y + z = 1 , y 2 + z 2 = 4
Resolva pelo método dos multiplicadores de Lagrange o exercício 40 da seção 14.7 .Determine o ponto do plano x - 2 y + 3 z = 6 que está mais próximo do ponto ( 0 ,1 ,1 ) .
Resolva pelo método dos multiplicadores de Lagrange o exercício 4 9 da seção 14.7 .Determine as dimensões de uma caixa retangular de volume máximo tal que a soma dos comprimentos de suas 12 arestas se