Enunciado

Cada um desses problemas de valor extremo possui uma solução com um valor máximo e um valor mínimo. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).

f x , y , z = 2 x + 2 y + z ,     x 2 + y 2 + z 2 = 9

Passo 1

Para usar os multiplicadores de Lagrange, precisamos que:

∇ f x , y =   λ ∇ g ( x , y )

2,2 , 1 = λ ( 2 x , 2 y , 2 z )

Beleza, daqui a gente tira que:

2 = λ 2 x

2 = λ 2 y

1 = λ 2 z

E precisamos que

x 2 + y 2 + z 2 = 9

Vamos isolar o λ nas duas...

Passo 2

λ = 2 2 x = 2 2 y = 1 2 z

1 x = 1 y = 1 2 z

Vamos separar pra ficar mais fácil...

1 x = 1 y → x = y

1 y = 1 2 z → y = 2 z

Então a gente coloca tudo em função de z :

x = y = 2 z

Vamos substituir na x 2 + y 2 + z 2 = 9 agora:

2 z 2 + 2 z 2 + z 2 = 9

4 z 2 + 4 z 2 + z 2 = 9

9 z 2 = 9

z 2 = 1

z = ± 1

Agora tá tranquilo! Se z = - 1 ,     x = y = - 2 e se z = 1 ,   x = y = 2 .

Passo 3

Os pontos que nós vamos considerar então são:

- 2 , - 2 , - 1 ,   ( 2,2 , 1 )

Vamos ver o valor da função f nesses pontos agora...

  • f - 2 , - 2 , - 1 =   - 9
  • f 2,2 , 1 = 9

Ou seja, o valor mínimo da função na restrição dada é - 9 , e o valor máximo é 9 .

Resposta

- 9   e   9

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Descreva o método dos multiplicadores de Lagrange e dêexemplos