Enunciado

Nos problemas 17-22, encontre duas soluções linearmente independentes para cada equação.

22. x²y’’ – x²y’ + (x²-2) y = 0

Passo 1

Como sabemos, podemos realizar a substituição com y = ∑ n = 0 ∞ c n x n + r . Substituindo na equação diferencial, teremos:

x ² y ' ' - x ² y ' + x 2 - 2 y = r 2 - r - 2 c 0 x r + r 2 + r - 2 c 1 - r c 0 x r + 1 + ∑ k = 2 ∞ k + r k + r - 1 c k - 2 c k - k + r - 1 c k - 1 + c k - 2 - x k + r = 0

Essa equação nos implica que r ² - r - 2 = r - 2 r + 1 = 0 , ( r 2 + r - 2 )   c 1 - r   c 0 = 0 e [ k + r r - 1 - 2 ] c k - k + r - 1 c k - 1 + c k - 2 = 0 .

Passo 2

Após encontrarmos as equações, podemos encontrar as raízes r pela resolução da equação, chegando em r1=2 e r2=-1.

Para r2=-1, temos:

- 2 c 1 + c 0 = 0   e   k k - 3 c k - k - 2 c k - 1 + c k - 2 = 0 ,   c o m   k = 2,3 , 4 , … , então, temos:

c 1 = 1 2 c 0 ,   - 2 c 2 - 0 * c 1 + c 0 = 0   e   a s s i m   c 2 = 1 2 c o

Como c1=c2, então c3 é arbitrário e, logo, c k = k - 2 c k - 1 - c k - 2 k ( k - 3 ) ,   c o m   k = 4,5 , 6 , … .

Passo 3

Assim, podemos assumir c0=1 e c3=0. Com estes valores, teríamos:

c 1 = 1 2 ,   c 2 = 1 2 ,   c 4 = - 1 8 ,   c 5 = - 3 80 , e assim adiante.

Já assumindo c0=0 e c3=1, temos:

c 1 =   c 2 = 0 ,   c 4 = 1 2 ,   c 5 = 3 20 , e assim adiante.

Passo 4

Assim, encontramos os valores de y1 e y2:

y 1 = C 1 x - 1 1 + 1 2 x + 1 2 x 2 - 1 8 x 4 - 3 80 x 5 + …

E, consequentemente, encontramos a segunda solução, que será:

y 2 = C 2 x - 1 x 3 + 1 2 x 4 + 3 20 x 5 + … .

Resposta

Assim, concluímos que y 1 = C 1 x - 1 1 + 1 2 x + 1 2 x 2 - 1 8 x 4 - 3 80 x 5 + … e y 2 = C 2 x - 1 x 3 + 1 2 x 4 + 3 20 x 5 + … .  

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