Enunciado

Nos problemas 13-16, para cada equação diferencial, encontre duas soluções em série de potências em torno do ponto ordinário x=0.

13. y’’+xy=0

Passo 1

Como sabemos, podemos realizar a substituição com y = ∑ n = 0 ∞ c n x n . Substituindo na equação diferencial, teremos:

y ' ' + x y = 2 c 2 + ∑ k = 3 ∞ k k - 1 c k + c k - 3 x k - 2 = 0

Como c2=0 e temos que c k = - c k - 3 k k - 1 ,   k = 3 , 4,5 , … Além disso, podemos admitir que c0=1 e c1=0.

Passo 2

Utilizando isso as admissões anteriores, temos c3=0, c4=-1/12, c5=c6=0 e c7=1/504, e assim continua. A partir disso, podemos encontrar suas soluções y1 e y2.

y 1 = c 0 1 - 1 6 x 3 + 1 180 x 6 - …

E

y 2 = c 1 x - 1 12 x 4 + 1 504 x 7 - … .

Resposta

Assim, concluímos que y 1 = c 0 1 - 1 6 x 3 + 1 180 x 6 - … e y 2 = c 1 x - 1 12 x 4 + 1 504 x 7 - … .

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