Enunciado

Cada um dos Exercícios 11-16 apresenta o gráfico de uma função y = f ( x ) . Copie o gráfico e sobreponha-o à reta y = x . Em seguida, utilize a simetria com relação à reta y = x para adicionar o gráfico de f - 1 ao seu esquema (não é necessário determinar uma fórmula para f - 1 ). Identifique o domínio e a imagem de f - 1 .

Passo 1

Então galera, assim como discutido na seção 6 do George, temos que para resolver os exercícios do 11-16 só precisamos lembrar de dois conceitinhos básicos sobre funções inversas, ok?

O primeiro conceito nos diz que o gráfico da função inversa é simétrico à reta y = x , ou seja, para encontrarmos o gráfico da função sem utilizar de cálculos, basta refletirmos o gráfico da f que nos é dada em torno da reta y = x , beleza?

O segundo conceito nos diz o seguinte:

Seja D e R o domínio e a imagem de uma função f , respectivamente, isso implica que o domínio da f - 1 passará a ser R e a imagem da f - 1 passará a ser D . Em outras palavras, as coisas só se invertem! Sabendo disso, já conseguimos resolver as questões. Bora lá!

Passo 2

Essa questão é um pouquinho diferente das outras que fizemos, galera, mas nada demais também. A única diferença é que o gráfico é regido por duas funções para certos domínios. A função que nos foi dada é a seguinte:

f x =   x + 1 ,     - 1 ≤ x ≤ 0   2 3 x - 2 ,     0 < x < 3

Se plotarmos o gráfico dessa função, teremos:

No qual y = x é a função pontilhada; f x são as funções de verde e laranjado e f - 1 ( x ) são as funções de azul e roxo, respectivamente.

Passo 3

Agora que temos o gráfico das funções, vamos utilizar o segundo conceito comentado no passo 1 para descobrimos o domínio e a imagem de f - 1 ( x ) , tranquilo?

Para - 1 ≤ x ≤ 0 , temos o seguinte:

Domínio de f x = [ - 1,0 ]

Imagem de f x = [ 0,1 ]

Domínio de f - 1 x = [ 0,1 ]

Imagem de f - 1 x = [ - 1,0 ]

Para 0 < x < 3 , temos o seguinte:

Domínio de f x = ( 0 , 3 )

Imagem de f x = ( - 2 , 0 )

Domínio de f - 1 x = ( - 2,0 )

Imagem de f - 1 x = ( 0,3 )

Resposta

Para - 1 ≤ x ≤ 0 :

Domínio de f - 1 x = [ 0,1 ]

Imagem de f - 1 x = [ - 1,0 ]

Para 0 < x < 3 :

Domínio de f - 1 x = ( - 2,0 )

Imagem de f - 1 x = ( 0,3 )

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