Calcule as integrais dos Exercícios 1-46

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∫ 0 π 4 1 3 t g   t sec 2 ⁡ t   d t

Passo 1

Uma boa ideia é aplicar a substituição:

u = t g   t

d u = s i n t ' cos ⁡ t - sin ⁡ t cos ⁡ t ' cos 2 ⁡ t = 1 cos 2 ⁡ u = sec 2 ⁡ t   d t

O que deixa a nossa integral ( que ainda será indefinida ao menos que nós achemos melhor trocar definitivamente o domínio)

∫ 1 3 u d u

Passo 2

Para encontrar a integral de a u temos que fazer:

∫ a u = ∫ e ( ln ⁡ a ) u  

Fazendo a substituição:

v = u l n   a

d v ln ⁡ a = d u

Logo:

1 ln ⁡ a ∫ e v d v = e v ln ⁡ a + c = e u l n a ln ⁡ a + c = a u ln ⁡ a + c

Passo 3

Substituindo o resultado na integral temos:

∫ 1 3 u d u = 1 3 u ln ⁡ 1 3 + c

Voltando ao domínio de t e aplicando o intervalo nós temos:

∫ 0 π 4 1 3 t g   t sec 2 ⁡ t   d t = 1 3 t g   t ln ⁡ 1 / 3 + c 0 π 4

1 3 t g π 4 ln ⁡ 1 / 3 + c - 1 3 t g 0 ln ⁡ 1 3 - c = 1 3 - 1 ln ⁡ 1 3 = - 2 3 ln ⁡ 1 - ln ⁡ 3 = 2 3   l n 3

Resposta

2 3 ln ⁡ 3 = 0.606826 …

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