Enunciado

Cada um dos Exercícios 15-30 dá uma função f ( x ) e números L , x 0 e ϵ > 0 . Em cada caso, determine um intervalo aberto em torno de x 0 em que a desigualdade f x - L < ϵ seja verdadeira. DÊ então um valor de δ > 0   tal que, para todo x satisfazendo 0 < x - x 0 < δ , a desigualdade f x - L < ϵ seja verdadeira.

f x = x + 1 ,     L = 5 ,     x 0 = 4 ,     ϵ = 0,01

Passo 1

Vamos ver quais os valores que x precisa assumir para que a desigualdade f x - L < ϵ seja satisfeita:

f x - L = x + 1 - 5 = | x - 4 |

Logo,

x - 4 < 0,01

Passo 2

Temos a seguinte propriedade do módulo:

a < b → - b < a < b

Logo no nosso caso

x - 4 < 0,01 → - 0,01 < x - 4 < 0,01

Portanto,

- 0,01 + 4 < x - 4 + 4 < 0,01 + 4 → 3,99 < x < 4,01

Passo 3

Agora vamos ver o valor de δ que satisfaz x - x 0 < δ . Antes de mais nada no nosso caso temos x 0 = 4 , logo

x - 4 < δ

Pela propriedade do módulo que eu mostrei acima, temos que

- δ < x - 4 < δ

Logo,

- δ + 4 < x - 4 + 4 < δ + 4 → - δ + 4 < x < δ + 4

Passo 4

Agora qual o intervalo dos valores de x que satisfaz f x - L < ϵ ? Isso mesmo, o intervalo descoberto no passo 2 ( 3,99 < x < 4,01 ) !

Então o intervalo do passo 3 tem que coincidir com o do passo 2, ou seja

- δ + 4 = 3,99 → δ = 0,01

Resposta

δ = 0,01

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