Enunciado

Prove o Teorema de Limite 5 aplicando o Teorema de Limite 4 e usando a indução matemática.

Passo 1

Teorema de Limite 4: Se

lim x → a ⁡ f 1 x = L 1 e lim x → a ⁡ f 2 x = L 2

Então

lim x → a [ ⁡ f 1 x ± f 2 ( x ) ] = lim x → a ⁡ f 1 x ± lim x → a ⁡ f 2 x = L 1 ± L 2

Teorema de Limite 5: Se

lim x → a ⁡ f 1 x = L 1 ,   lim x → a ⁡ f 2 x = L 2 ,   ,   … ,   e   lim x → a ⁡ f n x = L n

Então

lim x → a ⁡ [ f 1 x ± f 2 x ± … ± f n x ] = L 1 ± L 2 ± … ± L n

Sendo assim, queremos provar o Teorema 5 usando para isso o Teorema 4.

Passo 2

Para começar, devemos notar que em 4 temos n = 2 , enquanto que para 5 temos n = k .

Nós desejamos provar que o Teorema 5 se mantem quando n = k + 1 . Então, pelo Teorema 4:

lim x → a ⁡ [ f 1 x ± f 2 x ± … ± f k x ] ± f k + 1 x = lim x → a ⁡ [ f 1 x ± f 2 x ± … ± f k x ] ± l i m x → a f k + 1 x

Assumindo que:

l i m x → a f k + 1 x = L k + 1

lim x → a ⁡ [ f 1 x ± f 2 x ± … ± f k x ] ± l i m x → a f k + 1 x = L 1 ± L 2 ± … ± L k ± L k + 1

Concluindo, o Teorema 5 é válido para qualquer valor de n inteiro.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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