Enunciado

Cada um dos exercícios 25-34 fornece uma fórmula para uma função y = f ( x ) . Em cada caso, determine f - 1 ( x ) e identifique o domínio e a imagem de f - 1 . Para conferir, mostre que f f - 1 x = f - 1 f x = x .

31. f x =   x + 3 x - 2

Passo 1

Para fazermos a inversa da função, assim como discutido na seção 6 do George, devemos escrever uma função x = f ( y ) , isto é, isolar a variável x na função (supondo que x seja a variável) e em seguida trocarmos as variáveis para escrevermos a inversa na forma convencional, que é y = f ( x ) , tranquilo? Se liga!

Passo 2

Como a função que nos foi dada é y =   x + 3 x - 2 ,   x ≠ 2 , escrevendo x = f ( y ) , temos:

x - 2 y = x + 3

x y - 2 y = x + 3

x y - x =   2 y + 3

∴ x =   2 y + 3 y - 1 ,   x ≠ 2  

Agora que encontramos a função x = f ( y ) , só devemos inverter as variáveis para escrevermos a função na forma convencional, que é y = f ( x ) . Sendo assim, a inversa da f será:

y =   2 x + 3 x - 1

∴ f - 1 x = 2 x + 3 x - 1  

Passo 3

Quanto ao domínio e imagem, galera, temos que seja D e R o domínio e a imagem de uma função f , respectivamente, isso implica que o domínio da f - 1 passará a ser R e a imagem da f - 1 passará a ser D . Em outras palavras, as coisas só se invertem! Sabendo disso, temos que:

Domínio de f x = - ∞ ,   2 ∪ ( 2 ,   ∞ )

Imagem de f x = - ∞ ,   1 ∪ ( 1 ,   ∞ )

Domínio de f - 1 x = - ∞ ,   1 ∪ ( 1 ,   ∞ )  

Imagem de f - 1 x = - ∞ ,   2 ∪ ( 2 ,   ∞ )  

Passo 4

Agora que encontramos tudo que precisava, só para a finalização, vamos provar que, de fato, a inversa que encontramos é, de fato, inversa!

f f - 1 x → Inversa dentro da função;

f - 1 f x → Função dentro da inversa.

f f - 1 x =   2 x + 3 x - 1 + 3 2 x + 3 x - 1 - 2 = 2 x + 3 + ( 3 x - 3 ) x - 1 2 x + 3 + ( - 2 x + 2 ) x - 1

∴ f f - 1 x =   5 x 5 = x

f - 1 f x =   2 x + 3 x - 2 + 3 x + 3 x - 2 - 1 = 2 x + 6 + ( 3 x - 6 ) x - 2 x + 3 + ( - x + 2 ) x - 2

∴ f - 1 f x =   5 x 5 = x

Dessa forma, conferimos que, de fato, a inversa que encontramos está correta!

Resposta

f - 1 x = 2 x + 3 x - 1

Domínio de f - 1 x = - ∞ ,   1 ∪ ( 1 ,   ∞ )  

Imagem de f - 1 x = - ∞ ,   2 ∪ ( 2 ,   ∞ )

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