Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 6, determine o valor funcional exato.

4. d) c o s e c - 1 ( - 2 3 )

Passo 1

Temos que achar o valor dessa função inversa da cossecante, no mesmo esquema da outra. Vamos usar uma definição para calcular isso, ok?

Passo 2

Temos a definição que diz que c o s e c - 1 x = 1 2 π -  sec - 1 ⁡ x para x ≥ 1

Até aí, só a definição. Agora quem é o x?

Só substitui o valor de x na definição pra visualizar...

c o s e c - 1 - 2 3 = 1 2 π -  sec - 1 ⁡ ( - 2 3 )

Passo 3

Então, precisamos buscar esse valor de sec - 1 ⁡ ( - 2 3 ) , certo? Agora é igual o esquema da questão 3.d

Temos a definição que diz que y = ( sec - 1 ⁡ ) x se x = s e c y

Calma, é tranquilo.

Queremos o valor de y e temos o x , que é - 2 3 , certo?

y = s e c - 1   ( - 2 3 ) se ( - 2 3 ) = s e c y

Só substitui o valor de x na definição.

Show?

Passo 4

Agora, qual valor de y cuja secante é - 2 3 ?

Como s e c é 1 c o s :

1 c o s ⁡ ( y ) = - 2 3

cos ⁡ y = - 3 2

Tranquilo né?

Temos y = π + π 6 = 7 π 6 pois o ângulo y é do 3º quadrante ;)

Passo 5

Substituir o valor de s e c - 1 , temos isso:

c o s e c - 1 - 2 3 = π 2 -  sec - 1 ⁡ ( - 2 3 )  

E agora jogamos o valor da secante inversa...

c o s e c - 1 2 3 = π 2 -   7 π 6 = - 4 π 6

c o s e c - 1 2 3 =   - 2 π 3

Pronto

Resposta

c o s e c - 1 2 3 =   - 2 π 3

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